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私は高校生です。
代数学について教えてください。どんな学問なのか。具体的に何を学ぶのか。どんなイメージを持ったものか。どんなところが魅力か。代数学は「抽象的なところが魅力」っていいます。それは他の分野にはないところなんでしょうか。
できれば高校生である私でもわかるように易しく教えて欲しいと思います。よろしくお願いします。

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A 回答 (3件)

二次方程式


 ax^2+bx+c=0
の解の公式
 x={-b±√(b^2-4ac)}/2a
は、中学校の数学の授業で習ったことと思います。この公式は、非常に古くから知られていて、紀元前21~16世紀のバビロニアの粘土版には、二次方程式の解法に関する記述を見ることができます。三次方程式
 ax^3+bx^2+cx+d=0
や、四次方程式
 ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0
にも、少々複雑ではありますが、解の公式が存在します。しかし、こちらの方は、比較的新しい発見で、16世紀のルネッサンスを迎えるまで知られることはありませんでした。三次方程式は、カルダノ(Gerolamo Cardano, 1501~1576, Italy)という数学者によって、四次方程式は、カルダノの弟子であるフェラーリ((Lodovico Ferrari, 1552~1565, Italy)という数学者によって発見されました。
三次方程式と四次方程式の解の公式の発見の後、数学者たちは、五次方程式
 ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f=0
の解の公式を発見する研究を開始しました。しかし、多くの数学者の努力にも拘わらず、それが発見されることはありませんでした。そして、ついに、19世紀になって、それが不可能であることが、アーベル(Neils Henrik Abel, 1802~1829, Norway)という数学者によって証明されたのです。ところが、例えば、
 x^5=1
という五次方程式については、
 x^5=1
 ⇔ x^5-1=0
 ⇔ (x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)=0
 ⇔ x=1, x^4+x^3+x^2+x+1=0
となりますから、ここで、
 t=x+1/x
とおけば、
 x^4+x^3+x^2+x+1=0
 ⇔ t^2+t-1=0
となって、二次方程式の解の公式を用いれば、解くことができます。つまり、特定の五次方程式に限れば、解くことができることもあるわけです。すると、どういう形をした方程式が解けて、どいう形をした方程式が解けないのかという疑問が出てきます。この方程式の判別法を発見したのが、ガロア(Evariste Galois, 1811~1832, France)という数学者です。ガロアは、群論と呼ばれる理論を発見し、この疑問を解決したのです。この群論は、これまでの代数学と一線を画し、抽象代数学と呼ばれる分野を切り開きました。現代の代数学は、この流れを汲んでいます。
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No.2の方の回答で正解かと思いますが、群論とか高校の数学の教科書には


普通出てこない用語もあるようなので、老婆心ながら補足のつもりで・・・

 代数学って、小学校からやってる四則演算(
足し算、引き算、掛け算、割り算)を抽象的に
やることと言っていいと思います。

説明の前に・・・
抽象的 →(反意語)具体的

(具体的):1、2,3・・・のような具体的数字を入れて計算すること
<例> 2×1=2

(抽象的)具体的な数字を入れず、X、Y、Z・・・のような記号を使う。
<例> Y=2X 
    f(x)=2X 

    ここでXに1を入れてやると、Y、f(x)が2という答えが出て
    来ますね。

★つまり、1とか2とか言った具体的な数字の★代わりの記号を数字
 のように使って四則演算していく★数学が、代数学。

 記号を使うf(x)=2Xは関数というのでは? と思うなら
 代数学は1つ1つの関数f(x)を数字のように計算してその
 関係を考えること。
 
 例えばf(x)・f(x)

>私は高校生です。
 うーん、どこまで数学の勉強しているか不安ですが続けて説明すると。

 行列(例えば単位行列 E )も記号で掛け算、足し算してますよね。

 E × E = E
 2 × E = 2E
 E + E = 2E

 これらが代数学の基礎なんです。

>代数学は「抽象的なところが魅力」っていいます。
 
 だ、誰がそんなことを・・・(笑)

 例えば小学生に、ここにりんごがX個あって、
 お母さんがY個買ってくるとすると、りんごは
 全部で何個? て聞いても分からない
 
 最終的には具体性(具体的理解)が必要です。
 数学はちゃんと理解していれば、具体例が上げられるものです。
  抽象的に説明すると基本が分かっていない人には理解できませんから、
 相手に分からないことが自分にわかるという、見当違い
 の優越感じゃないでしょうか?

>それは他の分野にはないところなんでしょうか。

 抽象的という表現で私がまず思い出すのは、現代物理学
 の一分野の、量子力学ですね。高校2~3年生の物理の
 時間にこの量子力学のさわりの部分が少し出てくると
 思います。(もう勉強されているかもしれませんが)

  量子力学によると、光は波であり粒子である(光の二重性)と
  表現されています。波のような粒子、粒子のような波?
  具体的につかめません。実際こんな考え方のもと物理的
  な現象を計算して行くと、いろいろ問題が出てきます。
   そのため多くの学者がいろいろな解決策、新しい理論
  の構築を試みています。
  

 
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大きく分けて数学は、代数、解析、幾何学に分かれます。


高校に比べ大学の数学はどれも抽象的です。

不等式が多いのが解析です。
数列も解析の分野です。
「有界な基本列は収束する」「収束する列は基本列である」
と言った定理があります。

代数は等式が多いです。
行列を扱うのも「線形代数」といって、代数の一つです。
代数学の基本定理「n次方程式はn個の解を持つ」もそうです。
群論も代数学の一つです。

幾何学には位相幾何学(トポロジー)と微分幾何学があります。
4色問題を扱うグラフ理論も位相幾何の範囲です。

「数学セミナー」(まだあるのかな?)などの雑誌や本を見てみましょう。
また岩波全書「代数入門」(矢野健太郎)でも読んでください。
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Q代数学とは。幾何学とは。

一口に言うと、代数や幾何はどのような学問でしょうか。
(代数というと中高校レベルの連立方程式を解いたり、線形代数などのことはおよそ知っています。また、幾何というとユークリッド幾何は昔やったことがあります。)

Aベストアンサー

代数学というのは,数の構造の本質を研究する学問です。
中学のときに文字式を習ったときのことを思い出して下さい。
負の数が登場して(-1)*(-1)がなぜ+1になるかを説明付ける
のに,交換法則や結合法則や分配法則を駆使しましたね。
また,高校で複素数を習ったときも,実数の四則演算が
(well-definedに)拡張できることを示しましたね。
あのような探求をとことん突き詰めた状況をイメージして
いただければよいでしょう。

幾何学とは,図形の本質を研究する学問です。
「図形と方程式」のように数式で図形を表現する代数幾何学,
微分積分を用いて図形量や性質をとらえる微分幾何学など,
いろんな道具を駆使して研究します。

ユークリッド幾何は初等幾何学に属します。ちなみに,
「初等」とは易しいという意味ではなくて,理論を駆使しない
という意味で,とらえようによっては難しいと言えます。

大学の数学も高校の数学と本質は全く同じですが,
高校までの数学は基礎の基礎なので,それだけでは
数学全体をイメージするのは難しいかも知れません。

代数学というのは,数の構造の本質を研究する学問です。
中学のときに文字式を習ったときのことを思い出して下さい。
負の数が登場して(-1)*(-1)がなぜ+1になるかを説明付ける
のに,交換法則や結合法則や分配法則を駆使しましたね。
また,高校で複素数を習ったときも,実数の四則演算が
(well-definedに)拡張できることを示しましたね。
あのような探求をとことん突き詰めた状況をイメージして
いただければよいでしょう。

幾何学とは,図形の本質を研究する学問です。
「図形と方程式」のように数...続きを読む

Q同型とは?

複素解析の本に
『複素数からその共役にうつる演算は体Cの1つの自己同型である』
とか
『体Cの同型で部分体Rの元を動かさないものはα→α(つまりなにも動かさぬ同型)とこの共役に限る』
とあるんですが、『同型』という言葉の定義について何も書いてありません。

同型とはなんですか?

Aベストアンサー

2つの体KとLが同型というのは、
KとLが同じ構造をしている
ということで、ぶっちゃけた話
KとLは同じものだと思ってもさしつかえないよ
ということです。
(これは私の同型というものに対するイメージです。)

厳密には、
2つの体KとLが同型というのは、KからLへの同型写像がある
というもので、同型写像とは
全単射な準同型写像
のことです。
KからLへの準同型写像とは
任意のa,b∈Kに対し f(a+b)=f(a)+f(b),f(ab)=f(a)f(b)
を満たすKからLへの写像(関数)fのことです。

例を1つ。
R^2={(x,y)| x,yは実数}と複素数体Cは同型です。
R^2からCへの写像fを
f(x,y)=x+iy (iは虚数単位)
と定めるとfは同型写像になるからです。
R^2とCは同型なのですから
R^2とCはほとんど同じものだと考えてよいことになります。

また、自分から自分への(つまりCからCとか)の同型写像を
自己同型写像、あるいは略して自己同型といいます。
f(x+iy)=x-iy というある複素数をその共役に写すという写像fは
自己同型写像になりますよ、というのが
>『複素数からその共役にうつる演算は体Cの1つの自己同型である』
の述べていることです。

詳しく知りたいのでしたら代数学の本をひもとく必要がありますが、
そこを理解しないと先へ進めないということもないでしょうから、
(というのは質問にある『体Cの同型でうんぬんなんてのは
複素解析を学ぶ上でははっきり言ってどうでもいいことだからです)
頭の片隅にでも残しておいて飛ばしてもいいと思いますよ。

2つの体KとLが同型というのは、
KとLが同じ構造をしている
ということで、ぶっちゃけた話
KとLは同じものだと思ってもさしつかえないよ
ということです。
(これは私の同型というものに対するイメージです。)

厳密には、
2つの体KとLが同型というのは、KからLへの同型写像がある
というもので、同型写像とは
全単射な準同型写像
のことです。
KからLへの準同型写像とは
任意のa,b∈Kに対し f(a+b)=f(a)+f(b),f(ab)=f(a)f(b)
を満たすKからLへの写像(関数)fのことです。

例を...続きを読む

Q商空間の概念が全く分かりません

http://pantodon.shinshu-u.ac.jp/topology/literature/quotient_topology.html

商空間の定義はここに書かれてある通りなのですが、
これを呼んでもどういうものなのか全くよく分かりません。
そもそも商という名前がついているのに、どこに商(割り算)のような因子が含まれているのでしょうか?
どなたか具体例を挙げて教えて下さい。

Aベストアンサー

>写像f:X->Yが空間Xより空間Yへ全射な連続写像とする。ただしYは商位相をもっている。Zを空間としたとき写像g:Y->Zが連続である必要十分条件は、
合成写像gf:X->Zが連続写像となることである。

・・・これは定義じゃないですな.
そもそも「商空間」ですらない.
商空間にいれる「自然な位相」のことを
「商位相」というんだけども
商空間と商位相はまったく別物.
もっと初歩的な位相空間・代数・位相幾何の本を読みましょう.
その本は間違いなくあなたにはレベルが高すぎるのでしょう.

集合X上の関係Rで以下の条件を満たすものを同値関係という
Xの任意の元x,y,zにたいして
(1) xRx
(2) xRy <=> yRx
(3) xRy かつ yRz ならば xRz
この同値関係Rを用いて,Xの任意の元xに対して
集合{y∈X | yRx}を定める.これをxのRによる同値類といい
[x]と表す.
このとき,同値類の集合{[x] | x∈X}を
X/R と表し,XのRによる商集合(商空間)という.
#これはまさに同値関係でつながるということで
#空間を割り算しているようなもの

このとき,自然な写像
p_R: X -> X/R を p(x)=[x] によって定める.
これを商空間への「射影」と呼ぶ.

Xが位相空間であるとき,射影p_Rが連続となる
最小の位相をX/Rに導入する.
すなわち,Xの任意の開集合Oに対して,
X/Rの部分集合 p_R^{-1}(O) が開集合であるとして
X/Rに位相を導入する.
この位相のことを,X/Rの商位相という.

これを拡大解釈して,
一般に全射 f:X -> Y に対して
f^{-1}(O) (OはYの開集合)がXの位相を定めるときに
Xには商位相が入っているという.
このとき,写像g;Y -> Zを考える.
Zの開集合Oに対して,gf:X->Zに対して
(gf)^{-1}(O)= f^{-1}(g^{-1}(O))
であることに注意する.
gが連続であるならば,fが連続なので合成gfは連続
gfが連続あるならば,
(gf)^{-1}(O)=f^{-1}(g^{-1}(O))
は開集合.fは連続で,Xは商位相をもつので
Yの開集合Vが存在して,V=g^{-1}(O)とできる
すなわし,gは連続である.

以上かな.
大抵の基本的な本にはこの程度のことは
必ず出てるから,大学生にしては調べ方や
本の探し方がかなり甘いといわれても仕方がないでしょう.

>写像f:X->Yが空間Xより空間Yへ全射な連続写像とする。ただしYは商位相をもっている。Zを空間としたとき写像g:Y->Zが連続である必要十分条件は、
合成写像gf:X->Zが連続写像となることである。

・・・これは定義じゃないですな.
そもそも「商空間」ですらない.
商空間にいれる「自然な位相」のことを
「商位相」というんだけども
商空間と商位相はまったく別物.
もっと初歩的な位相空間・代数・位相幾何の本を読みましょう.
その本は間違いなくあなたにはレベルが高すぎるのでしょう.

集合X上...続きを読む


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