代数学について

私は高校生です。
代数学について教えてください。どんな学問なのか。具体的に何を学ぶのか。どんなイメージを持ったものか。どんなところが魅力か。代数学は「抽象的なところが魅力」っていいます。それは他の分野にはないところなんでしょうか。
できれば高校生である私でもわかるように易しく教えて欲しいと思います。よろしくお願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： Mell-Lily 回答日時： 2002/11/23 21:02

二次方程式

　ax^2+bx+c=0
の解の公式
　x={-b±√(b^2-4ac)}/2a
は、中学校の数学の授業で習ったことと思います。この公式は、非常に古くから知られていて、紀元前21～16世紀のバビロニアの粘土版には、二次方程式の解法に関する記述を見ることができます。三次方程式
　ax^3+bx^2+cx+d=0
や、四次方程式
　ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0
にも、少々複雑ではありますが、解の公式が存在します。しかし、こちらの方は、比較的新しい発見で、16世紀のルネッサンスを迎えるまで知られることはありませんでした。三次方程式は、カルダノ（Gerolamo Cardano, 1501～1576, Italy）という数学者によって、四次方程式は、カルダノの弟子であるフェラーリ（(Lodovico Ferrari, 1552～1565, Italy）という数学者によって発見されました。
三次方程式と四次方程式の解の公式の発見の後、数学者たちは、五次方程式
　ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f=0
の解の公式を発見する研究を開始しました。しかし、多くの数学者の努力にも拘わらず、それが発見されることはありませんでした。そして、ついに、19世紀になって、それが不可能であることが、アーベル（Neils Henrik Abel, 1802～1829, Norway）という数学者によって証明されたのです。ところが、例えば、
　x^5=1
という五次方程式については、
　x^5=1
　⇔ x^5-1=0
　⇔ (x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)=0
　⇔ x=1, x^4+x^3+x^2+x+1=0
となりますから、ここで、
　t=x+1/x
とおけば、
　x^4+x^3+x^2+x+1=0
　⇔ t^2+t-1=0
となって、二次方程式の解の公式を用いれば、解くことができます。つまり、特定の五次方程式に限れば、解くことができることもあるわけです。すると、どういう形をした方程式が解けて、どいう形をした方程式が解けないのかという疑問が出てきます。この方程式の判別法を発見したのが、ガロア（Evariste Galois, 1811～1832, France）という数学者です。ガロアは、群論と呼ばれる理論を発見し、この疑問を解決したのです。この群論は、これまでの代数学と一線を画し、抽象代数学と呼ばれる分野を切り開きました。現代の代数学は、この流れを汲んでいます。

No.3 回答者： apple-man 回答日時： 2002/11/23 22:50

No.2の方の回答で正解かと思いますが、群論とか高校の数学の教科書には

普通出てこない用語もあるようなので、老婆心ながら補足のつもりで・・・

　代数学って、小学校からやってる四則演算（
足し算、引き算、掛け算、割り算）を抽象的に
やることと言っていいと思います。

説明の前に・・・
抽象的　→（反意語）具体的

（具体的）：１、２，３・・・のような具体的数字を入れて計算すること
＜例＞　２×１＝２

（抽象的）具体的な数字を入れず、X、Y、Z・・・のような記号を使う。
＜例＞　Y=２X　
　　　　f(x)=２X　

　　　　ここでXに１を入れてやると、Y、f(x)が２という答えが出て
　　　　来ますね。

★つまり、１とか２とか言った具体的な数字の★代わりの記号を数字
　のように使って四則演算していく★数学が、代数学。

　記号を使うf(x)=２Xは関数というのでは？　と思うなら
　代数学は１つ１つの関数f(x)を数字のように計算してその
　関係を考えること。
　
　例えばf(x)・f(x)

＞私は高校生です。
　うーん、どこまで数学の勉強しているか不安ですが続けて説明すると。

　行列（例えば単位行列　E　）も記号で掛け算、足し算してますよね。

　E　×　E　＝　E
　２ × E ＝　２E
　E　+　E　＝　２E

　これらが代数学の基礎なんです。

＞代数学は「抽象的なところが魅力」っていいます。
　
　だ、誰がそんなことを・・・（笑）

　例えば小学生に、ここにりんごがX個あって、
　お母さんがY個買ってくるとすると、りんごは
　全部で何個？　て聞いても分からない
　
　最終的には具体性（具体的理解）が必要です。
　数学はちゃんと理解していれば、具体例が上げられるものです。
　　抽象的に説明すると基本が分かっていない人には理解できませんから、
　相手に分からないことが自分にわかるという、見当違い
　の優越感じゃないでしょうか？

＞それは他の分野にはないところなんでしょうか。

　抽象的という表現で私がまず思い出すのは、現代物理学
　の一分野の、量子力学ですね。高校２～３年生の物理の
　時間にこの量子力学のさわりの部分が少し出てくると
　思います。（もう勉強されているかもしれませんが）

　　量子力学によると、光は波であり粒子である（光の二重性）と
　　表現されています。波のような粒子、粒子のような波？
　　具体的につかめません。実際こんな考え方のもと物理的
　　な現象を計算して行くと、いろいろ問題が出てきます。
　　　そのため多くの学者がいろいろな解決策、新しい理論
　　の構築を試みています。
　　

　

No.1 回答者： shinnopapa 回答日時： 2002/11/23 13:11

大きく分けて数学は、代数、解析、幾何学に分かれます。

高校に比べ大学の数学はどれも抽象的です。

不等式が多いのが解析です。
数列も解析の分野です。
「有界な基本列は収束する」「収束する列は基本列である」
と言った定理があります。

代数は等式が多いです。
行列を扱うのも「線形代数」といって、代数の一つです。
代数学の基本定理「ｎ次方程式はｎ個の解を持つ」もそうです。
群論も代数学の一つです。

幾何学には位相幾何学（トポロジー）と微分幾何学があります。
４色問題を扱うグラフ理論も位相幾何の範囲です。

「数学セミナー」（まだあるのかな？）などの雑誌や本を見てみましょう。
また岩波全書「代数入門」（矢野健太郎）でも読んでください。