高校数学（場合の数）

こんにちは。高校数学の場合の数の問題なんですが、下に書いた問題がわかりません…解答お願いします。

A,B,C,D,Eの５人の名刺が一枚ずつあり、この５人が１枚ずつ名刺を取るとき、１人だけが自分の名刺をとるような取り方は何通りあるか？

樹形図を描いて考えたんですが、他に計算で出す方法があればお願いいします。

No.3 ベストアンサー 回答者： Quattro99 回答日時： 2008/07/02 12:32

#1です。

すみません。間違えました。
残りの4人のうち1人だけが自分の名刺を取る場合を忘れていました。

4人のうち1人だけ自分の名刺なので残りの3人は自分の名刺を取らない。
3人が名刺と取る取り方は3!=6通り。
3人とも自分の名刺を取る取り方は1通り。
2人だけが自分の名刺を取る取り方は0通り。
1人だけが自分の名刺を取る取り方は3C1=3通り。
従って、4人のうち1人だけが自分の名刺と取る取り方は4*{6-(1+3)}=8通り。

以下、#1の訂正です。

4人全員が自分の名刺を取らない取り方は24-(1+6+8)=9通り。

5人のうち誰が同じ名刺を取る場合でも同じようになるので、求める答えは5*9=45通り。

この回答へのお礼

詳しい解説ありがとうございます。
よくわかりました。

お礼日時：2008/07/09 18:18

No.4 回答者： nious 回答日時： 2008/07/02 12:41

n人が全員、他人の名刺を取るような場合を、

「完全順列」「撹乱順列」などと呼びます。

この場合の数は一般には、n!*Σ[k=0～n](-1)^k/k! で表せるので、
5人の内の一人が自分のを取り、残りの四人が他人のを取る場合を考えて、
5*{4!*Σ[k=0～4](-1)^k/k!}=5*(12-4+1)=45通りでしょうかね。

この回答へのお礼

そんな順列あるんですね。ご回答ありがとうございます。

お礼日時：2008/07/09 18:19

No.2 回答者： fifaile 回答日時： 2008/07/02 12:15

4人が取らない可能性を考えたほうが良いでしょう。

A…自分の(1通り)
B…自分以外の(3通り)
C…自分以外の(2通り)
D…自分以外の(1通り)
E…残り物(1通り)
これが5人分です。
したがって
5*1*3*2*1*1=30

自信ないなぁ・・・

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。答えは45通りでした。

お礼日時：2008/07/09 18:18

No.1 回答者： Quattro99 回答日時： 2008/07/02 12:15

自信ありませんが。

Aが自分の名刺を取ったとき、残りの4人は自分の名刺を取っていないので、それが何通りあるのかを考えます。
残りの4人が名刺を取る取り方は4!=24通り。
4人全員が自分の名刺を取る取り方は1通り。
3人だけが自分の名刺を取る取り方は0通り（3人が自分の名刺を取ったら残りの一人も自分の名刺になってしまうから）。
2人だけが自分の名刺を取る取り方は、4C2=6通り（2人が同じ名刺を取った場合、残りの2人が取る取り方は1通りなので、どの2人が同じ名刺を取るのかという組み合わせの数と同じことになるから）。
従って、4人全員が自分の名刺を取らない取り方は24-(1+6)=17通り。

5人のうち誰が同じ名刺を取る場合でも同じようになるので、求める答えは5*17=85通り。