数列と整数の融合問題？

（１）
実数a,b,cはa＜b＜cを満たすとする。このときa,b,cを項として含む等差数列が存在するためには、適当な自然数k,tによってb=(ka＋tc)/(k＋t)と書き表せることが必要十分である。このことを示せ。

（２）
nを自然数とする。このとき3つの実数logn,log(n＋1),log(n＋2)を項として含む等差数列は存在しないことを示せ。


解（２）（１はわかります）

この３つの数を含む等差数列があれば、適当な自然数k,tによって
log(n＋1)=｛klogn＋tlog(n＋2)｝/(k＋t)　と表される。
これより、
log(n＋1)^(k＋t）=logn^k＋log(n＋2)^t
∴(n＋1)^(k＋t)=n^k×(n＋2)^t　…(1)

n=1のとき、2^(k＋t)=3^tで成立しない。
「
n＞1のとき、n＋1とnは互いに素でないとすると、
n＋1=m(1)p 、n=m(2)pとなる1より大きいpがあって、辺々ひくと、
｛m(1)-m(2)｝p=1 (p＞1)より矛盾する。
よって、n＋1とnは互いに素だから(1)は矛盾
よって、題意が成立する。
　　　　　　　　　　　　　　　　」
「」の部分がどうもよくわかりません。一応整数関係の問題は一通りやったのですが…。
(1)でn＋2に関しては何もしなくてもよいのでしょうか？
それと、整数問題ではこの解法自体あまりみたことないので、こういう解法もあると覚えていたらよいのでしょうか？
もしもう少し分かりやすい解法があればよろしくお願いします。

No.1 回答者： afghe600 回答日時： 2008/07/05 20:41

n＋2に関しては,

n+2とn+1とが互いに素だから、
ｎとn+1とが素であることとかね合わせると、結局
(n＋1)^(k＋t)≠n^k×(n＋2)^t
だということです。
他は、簡単にならない。
何も言うことがないですね。あってますよ。（１）付いていたら簡単ですね。なかったら、悩みますね。

No.2 回答者： koko_u_ 回答日時： 2008/07/06 00:06

>もしもう少し分かりやすい解法があればよろしくお願いします

いや。そんな感じでしょう。

>こういう解法もあると覚えていたらよいのでしょうか？
別に覚えるようなことではない。

No.3 ベストアンサー 回答者： kumipapa 回答日時： 2008/07/06 00:29

(n＋1)^(k＋t)=n^k×(n＋2)^t　・・・　(1)

ですが、n＞1 の条件下では、n+1 と n とが互いに素であれば、この式が成立しないことを示すに十分です。

勿論 n+1 と n+2 も互いに素ですね。それは n+1 と n が互いに素であることが既に解説の中で証明済みなのだから、n+1 と n+2 が互いに素も証明済み。しかし、n+1 と n とが互いに素であることで(1)を否定するに十分であるのだから、n+1 と n+2 については言う必要がない。

たとえば、シンプルな問題で、1より大きな整数 a,b,c が与えられたとき、
a^x = b^y c^z （x,y,z は自然数）
という関係を否定したければ、a と b とが互いに素であることを言えば十分であり、a と c の関係については言及する必要はありません。それを、「a と b とが互いに素、かつ、a と c も互いに素であるから、a^x = b^y c^z は矛盾」とした場合、採点者は逆に「んっ？？」と思うかも知れません。a と b とが互いに素であることに加えて、あたかも a と c も互いに素でなければ否定できない、という主張と受け取られてしまうと、間違えと判断される可能性があるということです。

ということで、n+1 と n が互いに素であることに加えて、わざわざ　n+1 と n+2 も互いに素だからという説明をするのは、適当ではないでしょう。
先述したように、 n+1と n、n+1 と n+2 の両方の組み合わせが互いに素であることが (1) を否定するのに必要であるかのような説明をしてしまいますと、かえって間違えだと見なされる可能性もあるんじゃないでしょうか。

（１）が解けたのであれば立派、（２）は当然それを利用することになるでしょうね。