７Ｃ１って・・・？？？

今回、大学で数学を使ったテストがあるのですが…
高校の参考書を全て破棄してしまって公式の使い方さえもよく分からず。。。

９Ｃ２＝３６
７Ｃ１＝７　

とプリントに載っていたのですが、いまいちよく分かりません。
「ｃ」を使ったこの公式は左右にある数字をどのように計算するものなのでしょうか？

分かりにくい質問で申し訳ありませんが、
もし良かったら教えて下さい；お願いします。

No.4 ベストアンサー 回答者： sanori 回答日時： 2008/07/24 19:30

こんにちは。

Ｃは、combination の頭文字で、数学用語では「組合せ」です。

ついでに、
Ｐ（permutation の頭文字）というものもあり、これは数学用語で「順列」と言います。

順列より組合せの方が高度なので、まずは順列を説明します。

Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ　のマークがついた、５種類１個ずつのカードがあるとします。

この５枚から２枚を選び、１枚目と２枚目を順番に、左、右　に置くとします。
すると、この順列は、何通りあるでしょうか。

ＡＢ　ＡＣ　ＡＤ　ＡＥ
ＢＡ　ＢＣ　ＢＤ　ＢＥ
ＣＡ　ＣＢ　ＣＤ　ＣＥ
ＤＡ　ＤＢ　ＤＣ　ＤＥ
ＥＡ　ＥＢ　ＥＣ　ＥＤ

以上の２０通りです。
しかし、いちいち数えなくても、２０という数字は計算で求めることができます。

１枚目の取り方は、５通りです。これは簡単。

では、２枚目の取り方は何通りあるでしょうか。
こたえは、４通りです。
なぜならば、先に１枚取っているので、残っているのは４枚だけだからです。

ですから、５Ｐ２　＝　５×４　＝　２０　と計算で解くことができます。

次に、順列の計算の公式をつくることを考えます。

「階乗」って習いましたか？
たとえば、
１０！　＝　１０×９×８×７×６×５×４×３×２×１
です。
（！は、階乗を表す記号です。）

５×４　＝　５×４×３×２×１　÷　（３×２×１）
です。
ここで、
５×４×３×２×１　＝　５！
３×２×１　＝　３！
なので、
５Ｐ２　＝　５！／３！
ここで、さらに、３　＝　５－２　ですので、
５Ｐ２　＝　５！／（５－２）！

これを、文字を使ってほかの数に拡張すれば、
ｎＰｒ　＝　ｎ！／（ｎ－ｒ）！
となります。
（順列の説明終わり）


次に、「組合せ」です。

先程、
ＡＢ　ＡＣ　ＡＤ　ＡＥ
ＢＡ　ＢＣ　ＢＤ　ＢＥ
ＣＡ　ＣＢ　ＣＤ　ＣＥ
ＤＡ　ＤＢ　ＤＣ　ＤＥ
ＥＡ　ＥＢ　ＥＣ　ＥＤ
と列挙しましたが、今度はカードの順番、つまり、１枚目のカードと２枚目のカードとを区別しないとします。

すると、たとえば、ＡＢとＢＡは同じですし、ＢＥとＥＢも同じです。
ですから、
組合せの数を求めるということは、全ての順列の数を、取る枚数の順列で割り算しなくてはいけません。

よって、
５Ｃ２　＝　５Ｐ２　÷　２Ｐ１
　＝　５！／（５－２）！　÷　２！
　＝　５×４÷２
　＝　１０　（通り）

ちなみに、書き出してみれば、
ＡＢ　ＡＣ　ＡＤ　ＡＥ
ＢＣ　ＢＤ　ＢＥ
ＣＤ　ＣＥ
ＤＥ
というわけで、合致しました。

公式は、上記の考え方により、簡単に導けます。
ｎＣｒ　＝　ｎＰｒ　÷　ｒＰｒ
　＝　ｎ！／（ｎ－ｒ）！　÷　ｒ！
　＝　ｎ！／｛ｒ！（ｎ－ｒ）！｝


９Ｃ２　＝　９！／（２！・７！）
　＝　９！／７！　÷　２！　　　←ここがポイント
　＝　９×８　÷　２
　＝　３６

７Ｃ１　＝　７！／（１！・６！）　＝　７


とはいえ、
ｎＣｒ　＝　ｎＰｒ　÷　ｒＰｒ
を使うほうが、はるかに良いです。
９Ｐ２　＝　９×８　÷　（２×１）

No.3 回答者： bizz22 回答日時： 2008/07/24 18:43

９Ｃ２とは

９個の中から２個を順序関係なく選ぶ方法(組み合わせ)がいくつあるか
を計算しています。

実は
順序を考えた計算のほうが楽で
９個の中から２個選んで並べるとき
９ｘ８
です

ここから
２個を並べる方法が
２ｘ１
なので

９ｘ８
から
２ｘ１
を割ると順序を考えない計算が出来るんです。

ちなみに並べるとは
順序関係アリで計算しているということです。

ＵＲＬを載せておくので、ここの「組合せ」のところを読んでください。

参考URL：http://www.altmc.jp/amc/practicum/primer/indexes …

No.2 回答者： banakona 回答日時： 2008/07/24 13:40

「組み合わせ」です。

９Ｃ２は「９個のものから順序を問わず２個を取り出すパターンの数」という意味です。
１個目を取り出すのが９通り。２個目を取り出すのが８通り（１個すでに取っているので１つ減る）。９×８で７２なのですが「順序を問わない」ので（例えば、１～９の数字が付いてたとすると「１個目が５、２個目が３」と「１個目が３、２個目が５」は同じとみなす）２で割って３６。よって９Ｃ２＝３６。

同様にして７Ｃ１は７個から１個を選ぶパターンの数なので７通り。
よって７Ｃ１＝７となります。

ちなみに９Ｃ４の計算方法は、（９×８×７×６）÷（４×３×２×１）＝１２６となります。

この回答へのお礼

とても分かり易く、さんこうになりました！！
有難う御座います!!!

お礼日時：2008/07/24 23:33

No.1 回答者： handstone 回答日時： 2008/07/24 13:39

組合せの問題ですね。

おそらく。
ちゃんと説明できませんが、とりあえず計算の方法はこうです。

９Ｃ２＝３６

　(９・８)／(２・１)
＝７２／２
＝３６


７Ｃ１＝７

　(７)／(１)
＝７／１
＝７


(例)８Ｃ３＝５６

　(８・７・６)／(３・２・１)
＝３３６／６
＝５６

参考URL：http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%B5%84%E5%90%88% …

この回答へのお礼

計算の方法を理解する事が出来ました!!
本当に有難う御座いました!!!!

お礼日時：2008/07/24 23:33