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No.3ベストアンサー
- 回答日時:
(a+b+c)^n は
因数(a+b+c)がn個掛け合わされたものです。
これらの因数の場所を,
1,2,3,‥‥n としてみます
p個のaを,取り出した因数の場所に置いてみます。
同様に,q個のb,r個のcも置いてみます。
このときのa,b,cの置き方は,幾通りもありますが,
この置き方の総数が項の個数を表し,
a^p・b^q・c^rの係数となります。
>上記より、それらを並べ替えてできる順列の 総 数 が
>項の係数になる。
は,このことを述べています。
この数を計算すると,n個のものの順列 n! を考えますが,
p個のa,q個のb,r個のcはそれぞれ区別のつかない
ものですから,p!, q!, r! で割ります。それが,
n !
────通り
p !q !r !
です。
No.2
- 回答日時:
順列の総数が1なら,一個しかa^p b^q c^rの項が出てこないので係数1
たとえば,a^nb^0c^0 の項だ.
総数が2なら・・・二個でてくるので係数は2
ここでやってる計算は
(a+b)^2 = a^2 + ab + ba + b^2
のように分配法則だけを地道につかって
しかも同類項をまとめるという操作を途中で一切しない
というような計算を先にやって,
同じ項が何個あるかを後から数えるというような計算の仕方.
n個の中から p を取り出して,残った中からqを取り出すのだから
nCp x (n-p)Cq
=
n!/(p!(n-p)!) x (n-p)!/q!(n-p-q)
=
n!/(p!q!r!)
ちなみに・・・公式を使いつつ計算する方針でいくなら
二項定理をつかっていけばいい.
(a+b+c)^n = ( (a+b)+c )^n
とみなして,a^pb^qc^rの項の係数は
nCr (a+b)^R c^r からでてくる(R=n-r)わけで
さらに a^p b^q (p+q=R)の係数を考えると
RCq がでてくることになって
結局,a^pb^qc^rの係数は
nCr RCq (R=n-r=p+q)
これを計算すると
n!/(r!(n-r)!) x R!/(q!(R-q)!)
=
n!/(r!(n-r)!) (n-r)!/(q!p!)
=
n!/(p!q!r!)
めでたしめでたし.
No.1
- 回答日時:
順列の「総数」でもいいけど「個数」のほうがよりはっきりしているような気がする.
n が 3 か 4 くらいで地道に全部展開してみればわかるかと.
ああ, 「二項定理」がどこにも出てこない....
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