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5人の人がクリスマスプレゼントを持ち寄りました。それを5人の子どもに配布します。どお子どもも自分の持ってきたプレゼントが当たらない確率を求めなさい。
これを書き出さないで、計算でやる方法はなかったですか?撹乱なんとかっていう題がついていたような…。教えてください!

A 回答 (6件)

◆Naka◆


正解は44通りでOKです。
よって確率は11/30ですね。

こんな考え方はどうでしょう??
例えばここにABCの3つの文字があります。
これをどれも、同じものが同じ場所に来ないように並べる(攪乱順列、または完全順列と言います)方法は、仮に
A B C
B C A
と、攪乱順列を作ったときの、3文字の巡回置換になりますので、3つのものの円順列と同じで、
(3-1)!
つまり2通りになりますね。

これを応用しましょう。
下の並べ方を見てください。
A B C D E
B A D E C
これは、A,Bの2つの文字のグループと、C,D,Eの3つの文字のグループに分かれていると考えられます。
下記のような場合も同様です。
A B C D E
D E A C B
この場合は、A,C,Dの3文字と、B,Eの2文字のグループになります。

では、このようなグループの作り方は何通りありますか??
答えはもちろん、5C2(または5C3)で、10通りですね。
上の例にならい、この場合それぞれのグループ内での巡回置換は、2文字の方が
(2-1)!
3文字の方が、
(3-1)!
になります。
また、2文字と3文字が入れ替わることはできませんので、そのままかけて全部で、
5C2*(2-1)!*(3-1)!=20 ---[1]
このように、20通りあることになります。

次に、
A B C D E
B D A E C
のように、5つ全部がグループなしでバラバラの場合が考えられます。
これも同様に、
(5-1)!=24 ---[2]
と、24通りありますので、[1]+[2]で、
20+24=44
合計44通りになります。

このように、2文字グループ+3文字グループ、または5文字バラバラの場合以外はありません。
例えば4文字グループ+1文字グループということになると、その1文字は同じ文字になってしまいますから。

今回は5つの文字の攪乱順列でしたから、上記の計算で簡単に出せましたが、例えば4文字だった場合は、ちょっと注意しなければならない点もあります。
4文字ですと、2文字グループ+2文字グループ、または4文字バラバラしかありませんが、この2文字+2文字の計算のときに、その2グループの入れ替わりを考えなければなりません。
興味がありましたら計算してみてください。
答えが「9通り」になれば、正解です。
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この回答へのお礼

すばらしいです!賢いですね~!
おもしろかったです。円順列とは思いつきませんでした。
大学数学やΣ、極限の考え方があまり分からないもので、簡単な言葉で説明して頂けたのでよく分かりました。ありがとうございました。

お礼日時:2003/11/16 23:43

いくつか回答が出ているようなので…。



今の5人の場合、求める確率は
 44/120 = 11/30
になるはずです。

樹形図を描いても確かめられますが、
自分のプレゼントを受け取ってしまう人数で分けると
 0人: 44通り
 1人: 45通り
 2人: 20通り
 3人: 10通り
 5人: 1通り
で合計120通りの配り方があります。


ちなみに、n人の場合の確率は
 Pn = Σ(-1)^k/(k!)     Σは 0~n までの和
となり、多くの子供がいた場合の確率は
 1/e ≒ 36.8%
になります。
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この回答へのお礼

参考になります。
1/eになるのがおもしろいですよね。

お礼日時:2003/11/16 23:36

先ほどの回答は間違いでした。

同じプレゼントをもらう確率が各人24/120ずつありますが、重なる例があるのでそれを差し引かなければなりません。
2人一致が20(10×2)例、3人一致が10例、5人一致が1例あり、単独は45例となります。
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5人にプレゼントを配布するのは120通り発生します。

そのうち自分に自分のプレゼントが来るのは
4×4×3×2=76通り
なので
120-76=44通り
でばらばらに配布されます。
よって確率は
44/120=11/30
です。
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この回答へのお礼

なるほどすっきりしました。
ありがとうございます。

お礼日時:2003/11/16 23:34

はじめまして。

スコンチョといいます。(^_^)

問題で「5人の人」が持ち寄ったプレゼントを「5人の子
ども」に配布するのですね。

「5人の人」が配る(分ける)のですから、子ども自身が
持ち寄ったプレゼントは無いはずですよね。そうであれば
自分の持ってきたプレゼントが当たらない確立は100%で
すよね。(意地悪問題かな)

問題文の記入ミスで、「5人の人」=「5人の子ども」で
あるなら(あるいは子どもが持ち寄ったプレゼントが5個
の中に入っているとしたら)ば話は違ってきます。

普通に考えれば。こんな感じですね。ABCDEの5人が
abcdeと書かれた5枚のカードの中から1枚引きます。
自分と同じ文字(大文字・小文字は同じ文字とする)を引
かない確立を答えなさい。

引いたカードが自分のものである確立は20%(5分の1)
ですから、引かない確立は100%から20%を引いて
80%でよいのではないかと思います。
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最近、私が似たような質問をしたのですが参考になれば幸いです。



参考URL:http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=676711
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