確率の問題です。

５人の人がクリスマスプレゼントを持ち寄りました。それを５人の子どもに配布します。どお子どもも自分の持ってきたプレゼントが当たらない確率を求めなさい。
これを書き出さないで、計算でやる方法はなかったですか？撹乱なんとかっていう題がついていたような…。教えてください！

No.6 ベストアンサー 回答者： Naka 回答日時： 2003/11/15 06:53

◆Naka◆

正解は44通りでOKです。
よって確率は11/30ですね。

こんな考え方はどうでしょう？？
例えばここにABCの３つの文字があります。
これをどれも、同じものが同じ場所に来ないように並べる（攪乱順列、または完全順列と言います）方法は、仮に
A B C
B C A
と、攪乱順列を作ったときの、３文字の巡回置換になりますので、３つのものの円順列と同じで、
(3-1)!
つまり２通りになりますね。

これを応用しましょう。
下の並べ方を見てください。
A B C D E
B A D E C
これは、A,Bの２つの文字のグループと、C,D,Eの３つの文字のグループに分かれていると考えられます。
下記のような場合も同様です。
A B C D E
D E A C B
この場合は、A,C,Dの３文字と、B,Eの２文字のグループになります。

では、このようなグループの作り方は何通りありますか？？
答えはもちろん、5Ｃ2（または5Ｃ3）で、10通りですね。
上の例にならい、この場合それぞれのグループ内での巡回置換は、２文字の方が
(2-1)!
３文字の方が、
(3-1)!
になります。
また、２文字と３文字が入れ替わることはできませんので、そのままかけて全部で、
5Ｃ2*(2-1)!*(3-1)!=20 ---[1]
このように、20通りあることになります。

次に、
A B C D E
B D A E C
のように、５つ全部がグループなしでバラバラの場合が考えられます。
これも同様に、
(5-1)!=24 ---[2]
と、24通りありますので、[1]+[2]で、
20+24=44
合計44通りになります。

このように、２文字グループ＋３文字グループ、または５文字バラバラの場合以外はありません。
例えば４文字グループ＋１文字グループということになると、その１文字は同じ文字になってしまいますから。

今回は５つの文字の攪乱順列でしたから、上記の計算で簡単に出せましたが、例えば４文字だった場合は、ちょっと注意しなければならない点もあります。
４文字ですと、２文字グループ＋２文字グループ、または４文字バラバラしかありませんが、この２文字＋２文字の計算のときに、その２グループの入れ替わりを考えなければなりません。
興味がありましたら計算してみてください。
答えが「９通り」になれば、正解です。

この回答へのお礼

すばらしいです！賢いですね～！
おもしろかったです。円順列とは思いつきませんでした。
大学数学やΣ、極限の考え方があまり分からないもので、簡単な言葉で説明して頂けたのでよく分かりました。ありがとうございました。

お礼日時：2003/11/16 23:43

No.5 回答者： ryn 回答日時： 2003/11/14 13:37

いくつか回答が出ているようなので…。

今の５人の場合、求める確率は
　44/120 = 11/30
になるはずです。

樹形図を描いても確かめられますが、
自分のプレゼントを受け取ってしまう人数で分けると
　0人：　44通り
　1人：　45通り
　2人：　20通り
　3人：　10通り
　5人：　1通り
で合計120通りの配り方があります。


ちなみに、ｎ人の場合の確率は
　Pn = Σ(-1)^k/(k!) 　　　　Σは 0～n までの和
となり、多くの子供がいた場合の確率は
　1/e ≒ 36.8％
になります。

この回答へのお礼

参考になります。
1/eになるのがおもしろいですよね。

お礼日時：2003/11/16 23:36

No.4 回答者： ademu2 回答日時： 2003/11/14 12:41

先ほどの回答は間違いでした。

同じプレゼントをもらう確率が各人２４／１２０ずつありますが、重なる例があるのでそれを差し引かなければなりません。
２人一致が２０（１０×２）例、３人一致が１０例、５人一致が１例あり、単独は４５例となります。

No.3 回答者： ademu2 回答日時： 2003/11/14 11:14

５人にプレゼントを配布するのは１２０通り発生します。

そのうち自分に自分のプレゼントが来るのは
４×４×３×２＝７６通り
なので
１２０－７６＝４４通り
でばらばらに配布されます。
よって確率は
４４／１２０＝１１／３０
です。

この回答へのお礼

なるほどすっきりしました。
ありがとうございます。

お礼日時：2003/11/16 23:34

No.2 回答者： skoncho 回答日時： 2003/11/14 09:54

はじめまして。

スコンチョといいます。(^_^)

問題で「５人の人」が持ち寄ったプレゼントを「５人の子
ども」に配布するのですね。

「５人の人」が配る（分ける）のですから、子ども自身が
持ち寄ったプレゼントは無いはずですよね。そうであれば
自分の持ってきたプレゼントが当たらない確立は100％で
すよね。（意地悪問題かな）

問題文の記入ミスで、「５人の人」＝「５人の子ども」で
あるなら（あるいは子どもが持ち寄ったプレゼントが５個
の中に入っているとしたら）ば話は違ってきます。

普通に考えれば。こんな感じですね。ＡＢＣＤＥの５人が
ａｂｃｄｅと書かれた５枚のカードの中から１枚引きます。
自分と同じ文字（大文字・小文字は同じ文字とする）を引
かない確立を答えなさい。

引いたカードが自分のものである確立は２０％（５分の１）
ですから、引かない確立は１００％から２０％を引いて
８０％でよいのではないかと思います。

No.1 回答者： ryn 回答日時： 2003/11/14 09:15

最近、私が似たような質問をしたのですが参考になれば幸いです。

参考URL：http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=676711