重複組み合わせの問題です。 区別できない七個の玉を３つの箱A、B、Cに分ける方法を考える。このとき、

重複組み合わせの問題です。



区別できない七個の玉を３つの箱A、B、Cに分ける方法を考える。このとき、次の場合の分け方は何通りあるか。
⑴玉を一個も入れない箱があっていい場合
⑵どの箱にも玉を一個以上入れる場合

解答、解説お願いします。

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2021/01/06 10:32

玉７個と、仕切り線２本をどのように並べるか、という問題に置き換えて、玉は区別しないので、仕切り線によって区切られたものを、例えば左から箱Ａ、箱Ｂ、箱Ｃに入れると考えればよいです。

(1) は境界線が端に来てもよい場合
(2) は境界線が端に来る、または隣り合ってはいけない場合

です。

(1) は「玉７個と、仕切り線２本の合計９つ」を自由に並べてよいので、区別して並べれば
　9! とおり
そのうち、玉７個、仕切り線２本は「区別しない」ので、
玉７個を区別した並べ方：7! とおり
仕切り線２本を区別した並べ方：2! とおり
であり、玉７個、仕切り線２本を「区別しない」場合にはこれを重複して数えていることになるので、求める場合の数は
　9!/(7! × 2!) = 36 とおり　　　　①

これは、Ａの箱に入れる個数 0～7 個に対して、ＢとＣの間の仕切り線の置き方が、残った玉の数 + 1 (両端を含むので)
　8とおり、7とおり、6とおり、・・・、１とおり
となって行くことから
　8 + 7 + 6 + ･･･ + 1 = 36 とおり
と数え上げてもよいです。

(2) 上記のうち、仕切り線が端に来るのは
・仕切り線が「左端」にある場合：８とおり
・仕切り線が「右端」にある場合：８とおり
これだと「境界線が「左端」と「右端」にある場合」を２回数えることになるので、これを引いて
　8 + 8 - 1 = 15とおり　　　②

仕切り線が隣り合うのは「玉７個と、仕切り線２本を合体させた合計８つ」の並べ方なので
　8! /7! = 8 とおり
このうち「仕切り線２本」が「左端」「右端」に来るケースは上にも含まれるので、「端以外で仕切り線が隣り合う」のは
　8 - 2 = 6 とおり　　　　③

従って、「どの箱にも玉を一個以上入れる場合」の分け方は、
　① - ② - ③ = 36 - 15 - 6 = 15 とおり

これは、Ａの箱に入れる個数 1～5 個に対して、ＢとＣの間の仕切り線の置き方が、残った玉の数 - 1 (間だけなので)
　5とおり、4とおり、3とおり、・・・、１とおり
となって行くことから
　5 + 4 + 3 + ･･･ + 1 = 15 とおり
と数え上げてもよいです。

No.1 回答者： tsuyoshi2004 回答日時： 2021/01/06 10:15

（１）計算で求めても良いのですが、ＡＢＣの３つの箱程度なので、順に考えると、Ａの箱に入れた個数とＢの箱に入れた個数の合計が７以下になる組合せを考えれば良いということです。

（余った球はＣに入れればよい）
Ａ＋Ｂ＝７の場合は８通り（Ａの箱に０～７個のいずれかを入れるので）
Ａ＋Ｂ＝６の場合は７通り
Ａ＋Ｂ＝５の場合は６通り
・・・
Ａ＋Ｂ＝０の場合は１通りなので、
８＋７＋６＋５＋４＋３＋２＋１＝３６通り

（２）最初にＡＢＣのそれぞれ１個ずつの球を入れて考えれば（７－３）＝４個の球をＡＢＣそれぞれに入れることと同様。
５＋４＋３＋２＋１＝１５通り