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lim(x→∞)x^p/e^x = 0 
と参考書に書いてあったのですが、理由は書いてありませんでした。なぜこういえるのでしょうか?

よろしくお願いします。

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A 回答 (2件)

不定形の極限値を求める方法に、ロピタルの定理(参考URL)を使う方法が


あります。(大学受験では使えない可能性があります。)
質問の問題は∞/∞型の不定形の極限値を求める問題ですから
pが正整数の場合
ロピタルの定理をp回使うと
分子は定数p!になり、分母はe^xのままですから、
定数/∞型となってゼロに収束します。

ロピタルの定理が使えないなら
e^xのマクローリン展開
e^x=1+x+x^2/2!+・・・+x^p/p!+x^(p+1)/(p+1)!+・・・
をx>0のもと、過少評価して
e^x>x^(p+1)/(p+1)!>0
逆数をとって
1/e^x<x^(-p-1)
x^pをかけて極限をとると
0<x^p/e^x=1/x→0 (x→∞)
(挟み撃ち法)
(証明終わり)

参考URL:http://doraneco.com/physics/lecture/math/lHospit …
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
なるほど、ロピタルの定理を使うと簡単ですね。

お礼日時:2008/08/13 00:03

e^xを無限級数で表現するとわかると思います。

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