量子統計の分配関数を
Z = sum_{n} Exp( - beta epsilon_n )
と書くことにします。
epsilon_n はハミルトニアンのn番目の固有値とし、
beta は1/(k_b T)で、k_bはボルツマン定数、Tは温度(ケルビン)です。
原子単位系(h/2π = 電気素量 = 電子の静止質量 = 1)で、試算してみると、betaの値が、T=315.7ケルビンの時、約1000となってしまいました。
betaが非常に大きいので、epsilon_nが最小の状態(基底状態)以外は、常温および低温では分配関数に効いてこないように思います。
量子統計では、この様な温度領域を扱う場合、基底状態だけ考慮して議論しているのでしょうか?そもそも量子統計はもっと高温を扱う理論なのでしょうか?
以上 よろしくお願いします。
No.1
- 回答日時:
>>基底状態だけ考慮して議論しているのでしょうか?
「基底状態だけ」というふうに、限定するよりは、「エネルギーの低い状態」というふうに、もう少し幅を持たせた方がよいでしょうね。
確かに、温度が低ければβは大きくなりますから、主に、エネルギー準位の低い部分だけが分配関数に影響します。
温度が高ければβは小さくなりますので、ある程度エネルギー準位の高い状態まで分配関数に影響を与えることができます。
粒子は、なるたけ、エネルギーの低い方から順番に充填しようとする傾向があることを考えると、当たり前のような気がしますがどうでしょうか。
回答ありがとうございます。
>粒子は、なるたけ、エネルギーの低い方から順番に充填しようとする傾向があることを考えると、当たり前のような気がしますがどうでしょうか。
エネルギーの低い順位に入ろうとするのは確かです。疑問なのは、常温という、感覚的には高い温度でもあるにもかかわらず、励起状態がほとんど効いてこないのは納得がいかないことです。
量子統計という分野自体は、イメージとして常温でも有効な理論であると思っていました。しかし、そうではないと言う事なのでしょうか?一般的には、もっと高温の系に対して適用されるべきなのだろうか?と思い質問させていただきました。
No.2
- 回答日時:
例として原子の励起状態の分布を考えると、基底状態からの励起エネルギーは、たいてい 1 eV くらいはありますよね。
1 eV は温度では 10^4 K くらいに対応します。よって、常温では原子はほとんど励起されないわけで、励起状態は分配関数にほとんど寄与しないわけです。不思議なことは何もありません。回答ありがとうございます。
>基底状態からの励起エネルギーは、たいてい 1 eV くらいはありますよね
なるほど、としますと、励起状態は、実際に効いてこないべきであって、beta=1000となったのは、おかしくないという事ですね。それはすなわち、量子統計はこの温度ではほとんど威力を発揮しないのでしょうか?
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