にゃんこ先生の自作問題、二重階乗の逆数和Σ[n=0,∞]1/n!!

にゃんこ先生といいます。

Σ[n=0,∞]1/n!=e
ですが、
Σ[n=0,∞]1/n!!
や
Σ[n=0,∞]1/(2n!!)
や
Σ[n=0,∞]1/n!!!
などなどについて、具体的な値や、無理数かどうかなどの性質で知られていることはあるのでしょうか？
自作問題というより素朴な疑問です。

No.3 ベストアンサー 回答者： arrysthmia 回答日時： 2008/11/12 21:11

母関数を考えるとイイですね。

exp(x) = Σ[n=0,∞] (x^n)/n!　という関数をよく知っているから、
Σ[n=0,∞] 1/n! = exp(1) = e　が分かる。

各 n について　(2n)!! = (2^n)(n!)　が成り立つので、
Σ[n=0,∞] 1/(2n)!! = Σ[n=0,∞] { (1/2)^n }/n! = exp(1/2) = √e
も同様ですね。

もし、Σ[n=0,∞]1/n!!　が収束するならば、
f(x) = Σ[n=0,∞] (x^n)/n!!　の右辺は 1 以上の収束半径を持つので、
この範囲では項別微分できて、df/dx = Σ[n=1,∞] n{x^(n-1)}/n!!
= 1 + Σ[n=2,∞] x{x^(n-2)}/(n-2)!! = 1 + x f　と整理できます。
exp(-x^2/2) df/dx - x exp(-x^2/2) f = exp(-x^2/2)　と変形して、
両辺を積分すれば、exp(-x^2/2) f = ∫exp(-x^2/2) dx。
f(0) = 1 から、右辺の積分定数が決まって、
exp(-x^2/2) f = 1 + ∫[t=0,x] exp(-t^2/2) dt。
よって、
Σ[n=0,∞] 1/n!! = f(1) = exp(1/2) { 1 + ∫[t=0,x] exp(-t^2/2) dt }。

この回答へのお礼

教えていただき感謝いたします。

お礼日時：2008/11/15 00:54

No.2 回答者： faubourg 回答日時： 2008/11/11 11:29

Σ[n=0,∞]1/(n!!)

=sqrt(e)*((1/2)*sqrt(2)+γ(1/2,1/2))
=3.0594074053425761445…

Σ[n=0,∞]1/((2n)!!)
=sqrt(e)

http://mathworld.wolfram.com/DoubleFactorial.html

参考URL：http://mathworld.wolfram.com/DoubleFactorial.html

この回答へのお礼

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お礼日時：2008/11/15 00:54

No.1 回答者： rphnn150 回答日時： 2008/11/10 05:58

私の数値計算では、小数点以下４桁では

Σ[n=0,∞]1/n!! = 1.6487
Σ[n=0,∞]1/(2n!!) = 1.2840
Σ[n=0,∞]1/n!!! = 1.3956
になりました。
ただ数値だけ出しても、規則性がある問題なので、
Σ[n=0,∞]1/n!=e
のように美しくかけないと、つまらないですね。

この回答へのお礼

教えていただき感謝いたします。

お礼日時：2008/11/15 00:54