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極限値lim[x→+0]0^x が何故 0 になるのか。
0^1=0 は定義から明らかです。
指数法則が成り立つと仮定すると、次のことも証明できます。
m∈N について、0^m=0
n∈N について、0^(1/n)=0
m,n∈N について、0^(m/n)=0
よって、x>0 ならば 0^x=0 なので、極限値も 0 になる、と思います。
#多分、指数法則以外に方法は無い。

でも、これは 0^0=0 を意味しません。
a^(r+s)=a^r*a^s は、a=0,r>0,s<0 では意味を持たないので、
どんなに小さな r=m/n について 0^r=0 が証明されても、r>0 である限り、0^0 が計算できないからです。
つまり、関数0^x について、x=0 での値を求める方法は存在しません。

また、0^0=1 と仮定しても、x>0 について、0^x=0 が証明できるので、
0^0=1 という仮定とlim[x→+0]0^x=0 には矛盾がありません。
結局、連続性がないことは、未定義とする理由として不十分で、
「0^0 を未定義としなければならない理由は、存在しない」

この説明に問題はありますか?

A 回答 (40件中11~20件)

←No.30 補足



違います。

先の定義の下で、
lim[x→+0] x^0 = 1 と
lim[y→+0] 0^y = 0 は、
収束します。
この程度の計算は、自分でできるといいですね。

lim[x→+0,y→+0] x^y は、
当然、収束しません。この事こそが、
世間で x^y と呼んでいる関数に 0^0 の値を
やたらに付け加えるべきでない、主な理由です。

No.30 へ切り返すのならば、
「y < 0 のときも 0^y = 1 か?」くらいのツッコミ
ができると、議論が深まるのですが。
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この回答へのお礼

>先の定義の下で、
>lim[x→+0] x^0 = 1 と
>lim[y→+0] 0^y = 0 は、
>収束します。

lim[x→+0]x^0=lim[x→+0]lim[u→x,v→0] exp(v log u)
ということでしょう?
ここから、本当に =1 と求められますか?
途中経過を省略せずにお願いします。

ありがとうございました。

お礼日時:2008/11/20 21:37

←NO.29 補足


> その場合、x^y=exp(y*log(x)) の定義から離れるのですね。
> 少なくとも 0^y では、その式は使えませんから。

x^y = exp(y log(x)) に x = 0 を代入しようとするからダメなのです。
私の言うほうの「べき乗」では、y を実数まで広げる時点で
x^y に連続性を要請していたハズですね。これを理解して、正しく
x^y = lim[u→x,v→y] exp(v log u) と定義すれば良いのです。
このように定義すれば、y ≠ 0 では、0^y = 1 となります。

その際、以前 http://oshiete1.goo.ne.jp/qa4448257.html で間違えたように、
安易に lim exp(v log u) = exp(lim v log u) としてしまっては、
話がもとに戻ってしまいますから、注意しましょう。
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この回答へのお礼

>x^y = lim[u→x,v→y] exp(v log u) と定義すれば良いのです。

面白い定義ですが、その場合、次の極限値はすべて求められないのですね?

lim[x→+0]x^0
lim[y→+0]0^y
lim[x→+0,y→+0]x^y

ありがとうございました。

お礼日時:2008/11/20 17:16

←No.23 補足


> 連続性うんぬんの前に、あなたの考えを確認したいのですが、
> 世間の指数関数と世間のべき乗は、同じものですか?

私にとって、「指数関数」は、一変数関数 exp(x) であり、
「べき乗」は、二変数関数 x^y です。
貴方の「べき乗」とは、定義が違うようですね。
さて、世間の「べき乗」は、どうなんでしょう?
用語ですから、常識的な定義ってやつが有るはずですが。

←No.27 補足
> 未定義にする絶対的な理由はないでしょう、と言っているのです。

だから、http://oshiete1.goo.ne.jp/qa4347011.html?ans_cou …
の A No.7 で解決だろう と言っているのです。
定義することの自由については、今回 A No.5 の贋sin の話でも
書いた通りです。
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この回答へのお礼

なるほど、二変数関数 x^y はすべて連続ということですか。
では、そういう前提で話をします。

その場合、x^y=exp(y*log(x)) の定義から離れるのですね。
少なくとも 0^y では、その式は使えませんから。
では、0^y が 0 である理由は何ですか?
それはどうやって証明されていますか?

ありがとうございました。

お礼日時:2008/11/19 03:33

#16礼> >f: 0^3、0^2、0^1は、すべて=0ですが、0^0は


#16礼> 何でしょう?
#16礼> >j: 直感ですが、=0ですか?
#16礼> いいえ、=0は否定されます。

これは「説明に問題がある」からだと思います。「関数:0^xでx→0を考えて」って言うから、0^0=0と思ってしまいます。


#16礼> 何に決めても矛盾する場合です。

これは、恐らく0^0を算出する方法が複数与えられていて、ある方法で計算した結果が他の方法で計算した結果と異なることを「矛盾」と表現されているのだと思います。そうであれば、たった1つの計算方法だけを与えるのであれば「矛盾」しませんよね。例えば「定義(ベキを拡張する):0^0=0とする」のように。


#16礼> ついでに値が1つに決まることも認めれば楽になります。

それは「信じる」と同じですか?
「XXXとすると、0^0=1」と主張した方がよいと思います。


話題が「この説明に問題はありますか?」から離れているのでビックリ(#27で戻った?)。推測ですが、最近の一連の質問は、実は「0^0=1と定義すると、しばしば便利だとのことですが、その根本的原因は何んですか(また、逆に0^0=1を数学的手法で正当化することはできますか)?」というコトではないでしょうか?
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この回答へのお礼

>たった1つの計算方法だけを与えるのであれば「矛盾」しませんよね。例えば「定義(ベキを拡張する):0^0=0とする」のように。

そういう提案もしてみました。(Wikiに)
0^0=0 の説明に、指数法則が成り立たないという注釈の追加ですが…
その後の対応は、0^0=0 の削除でした。
よって、Wikiの世界では、0^0=0 を追加して指数法則を破るくらいなら、0^0=0 を否定しようということだと思います。

私としては、注釈付きの 0^0=0 も、0^0=1 も、未定義も同じなのですが、注釈付きでない 0^0=0 のみは拒否しています。

>それは「信じる」と同じですか?
>「XXXとすると、0^0=1」と主張した方がよいと思います。

その通りです。
「XXXとすると」の部分は、どこまで行っても仮定に過ぎません。
だとしたら、最後は信じるか信じないかの話になります。
この場合、相手の話に矛盾があると言うのが有効な方法で、この質問の連続を根拠に未定義とすることはできない、というのがそれに当ります。
ただし、それに成功しても、「理由はないが未定義としておく」という選択肢は残ります。

ありがとうございました。

お礼日時:2008/11/19 05:03

いつものことですが活気がありますね^^


暇なのでちょこっとだけ回答してみます。

質問の内容に関しては全く問題ないと思いますよ。結局「ある関数」の「定義」と「連続性」は無関係ですから。「定義」した後で初めて「連続性」という概念を確かめることができますから。「定義」の前に「極限」も何もありません。

ところでNo1のあなたの補足
------------------------------------------
この質問では、関数y(x)=0^x を考えた場合、y(0)=1 でも矛盾は生じないという点を確認しています。
0^0 の値と、関数y(x) の極限値は、無関係なのです。
そして、x^0,x^xなどの極限値は 1 なので、y(0) も 1 にすると、すべてが丸く収まり、0^0 が定義できるようになります。
-------------------------------------------
で最初の2文章は合っていますが「そして~」の部分は数学的に全く意味不明で「すべてが丸く収まる」の意味はなんですか(以前の質問の時に他の極限の取り方もあると散々忠告されてるはずですが)?
更に、すぐ前の文章で「極限値と値は無関係」と自分で断言してるにもかかわらず「0^0=1」の定義の正当性に自ら極限を持ち出すのは自己矛盾してませんか?
正当性を言うときには極限を使い、未定義とするときに極限の考えを排除するのはあなたの自由ではあります。
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この回答へのお礼

屁理屈に聞こえるでしょうが、「0^0=1」の定義の正当性を主張しているのではなく、未定義にする絶対的な理由はないでしょう、と言っているのです。

連続性がないから、どういう値に決めても矛盾してしまうから、未定義とされているのだと思います。
でも、関数0^x は x=0 で 1 になると考えても、まったく問題は発生しません。
だとしたら、未定義とした理由といわれる矛盾や問題はどこにあるの?と聞きたいのです。

0^0=1 とする理由も、それを未定義とする理由も、どちらもないとしたら、後は利便性とか好みとかで決めれば良いことです。
私の興味は、「定義されないのは…値をどのように定義しても連続にならないことが理由」とする現在のWikiの記述についてです。

>他の極限の取り方もあるもあると散々忠告されてるはずですが

0^x と極めて近い関数では、0~1の範囲の極限値が取れます。
#x<0 の場合は、1より大きな極限値になります。
でも、それらの関数が不連続なのは、0^x の不連続性と変わりません。

ありがとうございました。

お礼日時:2008/11/18 17:37

f(0, 0) が未定義だったところ, 「何らかの値にしよう」ということを考えるんでしょ? だとしたら, f(0, -1) を未定義のままにせにゃならん理由も (あなたにとってそうしないと困るという, 全く数学的ではない理由をおいて他に) ないのでは?


そうそう, 言い忘れてたんだけど, 今までの流れの中で (1), (2), (5), (6) をベースにしようということで決着が付いてたんだよね. ところが, #24 のところではなぜか (3), (4) が復活している. これは甚だ不誠実な態度であると言わざるをえません. こういう可能性が考えられたからこそ,
「(3)(4)と(5)は、どちらか一方」
という表現は良くないです.
と釘を刺したつもりだったのに....
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この回答へのお礼

>f(0, 0) が未定義だったところ, 「何らかの値にしよう」ということを考えるんでしょ?
>だとしたら, f(0, -1) を未定義のままにせにゃならん理由も (あなたにとってそうしないと困るという, 全く数学的ではない理由をおいて他に) ないのでは?

あの~、べき乗の条件をすべて列挙して、という依頼であって、(4)も(4')も真偽が判定可能な条件です。
それとも、それだけでは条件と言えませんか?

No.24:
>その根拠は実はあなた自身が「0^0 = 1」としたからにすぎない.

これは、(5)の条件について言ったのではないですか?
後で、そう言わないのであれば、変更の必要はありません。

条件を決めた後で、No.22,No.24と別の話に持って行こうとしているようだったので、譲歩が必要なのかなと思っただけです。
本題に入らない理由がそうでないのであれば、変更する理由はありません。

ありがとうございました。

お礼日時:2008/11/17 23:00

....


頭痛がしてきた....
(4) の左辺にある f(0, -1) も未定義だってことすら指摘せにゃならんとは....
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この回答へのお礼

以前に f(0,-1)=0 という結論になる関数が提案されたことがあるので、そういう関数を排除するためです。
(4) f(0,-1) が未定義になる
こちらの方が分かりやすければ、それでも構いません。

ありがとうございました。

お礼日時:2008/11/17 21:18

極限を計算するときには定義域内だけで考えるのが当然.


あと, 「普通のべき関数」では (0, 0) における値は定義されていない. そこで「『指数法則』をなるべく保存したまま (0, 0) における『値』を決めるとしたらどのような値が適当か」という議論は (数学的に意味があるかどうかはさておき) 可能. これが「拡張」というやつ. だが, このときにいきなり「(0, 0) での値を 1にする」としてしまうのはダメ. もちろんそういう拡張の可能性もあるけど, 「他の拡張」の芽をつぶしてしまっている.
手っ取り早く言うと, あなたは「0^0 は 0 ではなく 1 だ」といっているけど, その根拠は実はあなた自身が「0^0 = 1」としたからにすぎない. そして, この時点であなたは「他の拡張」の可能性から目をそらしています.
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この回答へのお礼

>「『指数法則』をなるべく保存したまま (0, 0) における『値』を決めるとしたらどのような値が適当か」
>あなたは「他の拡張」の可能性から目をそらしています.

「他の拡張」とは何ですか?
そこに、『指数法則』をなるべく保存したまま、というのは生かされていますか?

f(…) で定義したべき乗の話は、どうなったのでしょう?
(5)は認められないから、考えられないのでしょうか。
では、(私からすると)譲歩して、次の定義から始めましょう。
これで、f(0,y) がどうなるのかを考えませんか?

(1) f(x,y+z)=f(x,y)*f(x,z) ただし x=0 では未定義
(2) f(x,y*z)=f(f(x,y),z) ただし x=0 では未定義
(3) f(x,-1)=1/f(x,1) ただし x≠0
(4) f(0,-1)≠0
(6) f(x,y+1)=f(x,y)*x
関数f(x,y) 、指数法則の定義域 { x,y | x,y∈R, x>0 }

これを利用すれば、(1)(6)より、f(x,1)=x ただし x=0 では未定義
となり、この式と(1)は指数関数の定義ですので、x^y とは x≠0 で一致します。

ありがとうございました。

お礼日時:2008/11/17 13:10

←No.20 補足


No.11 が理解できなかったのは、残念なことです。
アレが、一番始めから、貴方の考え方の最大の問題点なんですから。

底が正で指数が有理数ならば誰にとっても平和な「べき乗」を、
より広い定義域へと拡張するときに、

関数を取り扱う上での常識あるいは慣習に従って
なるべく正則性を保って拡張しようとすれば、
貴方が「指数関数」と呼んで「べき乗」とは切り離そうとする方の x^y が得られ、
複素多変数関数の意味で正則な関数となるが、0^0 は定義できない。

多項式の表記を簡潔にしたり、lim[x→+0] 0^x = 1 が成り立つことを要請したり
すれば、貴方が「べき乗」と呼んでいる、指数が超越数にはなれない x^y が得られる。
(先に「無理数にはなれない」と解説したが、代数的無理数までは広げられるので
訂正。いずれにしろ、指数の変域は可算集合の域を出ないが。)

どちらにも一長一短がありますが、回答者の多くが指摘しているように、
両者は異なる関数です。「べき乗」という用語も、x^y という記号も、
異なる二つの関数に用いることは混乱でしかないため、競合が起こっている
というだけのことです。

どうやら、貴方は、この状況を(オボロゲに)認識しているようですが、
それに対する対処が宜しくない。

自分の好む 0^0 = 1 な方の関数に「べき乗」の名を与えようとする、
情緒的で、世間の慣行には反する主張を、
さも「そうではならない理由がある」かのように言ってみたり、
あたかも「外国では常識である」かのように偽装してみたり、

ついには、指数法則が制限を受けることと、連続性が制限を受けることの
トレードオフを、No.8 で指摘したような二重基準(二枚舌)で評価したり…

> べき乗についての考え方も色々あるのでしょうが、
> 私の考えはWikipediaに基づいていることをご了承ください。

貴方が、そう編集したのでしょう?
Wikipedia の編集合戦は、人道的にも問題があります。
(この部分の意味が掴めない方は、旧質問 http://oshiete1.goo.ne.jp/qa4355129.html
での Wikipedia に関する対話を参照してください。)

『世間の「べき乗」は、世間の「べき乗」。俺の「べき乗」は、0^0 = 1。』
という論であることを、素直に認めるならば、「べき乗」の連続性を攻撃する必要は無いし、
話は、最初の質問 http://oshiete1.goo.ne.jp/qa4347011.html?ans_cou …
の A No.3 No.7 で終わっているのです。
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この回答へのお礼

>貴方が「指数関数」と呼んで「べき乗」とは切り離そうとする方の x^y が得られ、
>複素多変数関数の意味で正則な関数となるが、0^0 は定義できない。

0^0 だけでなく、 0^a は定義されていません。
lim[x→0]x^a
lim[y→a]0^y
この二つは、同じように扱われていますが、後者は自明ではありません。

連続性うんぬんの前に、あなたの考えを確認したいのですが、
世間の指数関数と世間のべき乗は、同じものですか?

>貴方が、そう編集したのでしょう?
>Wikipedia の編集合戦は、人道的にも問題があります。

私の編集は、すべて取り消された上で、他の編集者により修正されています。(笑)
数学の分野で、私が編集した本文は、一文字もありません。
#自慢にはなりませんね。

>『世間の「べき乗」は、世間の「べき乗」。俺の「べき乗」は、0^0 = 1。』

ここで言う世間の「べき乗」に、勝手に連続性を求めて、あなたの「べき乗」を作ろうとしているのではないですか?
「べき乗」と「指数関数」の定義は異なりますし、「べき乗」には、元から連続性は無いと思います。

ありがとうございます。

お礼日時:2008/11/17 10:17

お~い.... なんというか, 妄想に入ってないか?


「0^0 を定義しない「指数法則」も考えられる」とか言ってるけど, それが普通. あなたにとっては「0^0 を定義しないことはありえない, なぜなら 0^0 = 1 に決まってるから」となるかもしれんが, それは一般社会では通用しない.
そもそも「(0, 0) で定義しない」からこそ「(0, 0) での値をどうするか」という議論がありえるわけで, そうでなければここまでの話は全て無意味だぞ.
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この回答へのお礼

0^0 を定義しない「指数法則」では、0^0 が未定義になることは分かっていますので、敢えて独自ルールを主張していました。
でも、それが検証に不都合なら、一般の「指数法則」でいいです。

指数法則が定義されるのは、全員が合意できる範囲、指数関数と同じく底が 0 でない場合とします。
とりあえず、それを前提にべき乗が作れるかの確認をしませんか?

ありがとうございました。

お礼日時:2008/11/16 20:10

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