関数0^xは0^0=1か

極限値lim[x→+0]0^x が何故 0 になるのか。
0^1=0 は定義から明らかです。
指数法則が成り立つと仮定すると、次のことも証明できます。
m∈N について、0^m=0
n∈N について、0^(1/n)=0
m,n∈N について、0^(m/n)=0
よって、x>0 ならば 0^x=0 なので、極限値も 0 になる、と思います。
＃多分、指数法則以外に方法は無い。

でも、これは 0^0=0 を意味しません。
a^(r+s)=a^r*a^s は、a=0,r>0,s<0 では意味を持たないので、
どんなに小さな r=m/n について 0^r=0 が証明されても、r>0 である限り、0^0 が計算できないからです。
つまり、関数0^x について、x=0 での値を求める方法は存在しません。

また、0^0=1 と仮定しても、x>0 について、0^x=0 が証明できるので、
0^0=1 という仮定とlim[x→+0]0^x=0 には矛盾がありません。
結局、連続性がないことは、未定義とする理由として不十分で、
「0^0 を未定義としなければならない理由は、存在しない」

この説明に問題はありますか？

No.11 回答者： arrysthmia 回答日時： 2008/11/13 22:51

No.8 が理解できなかったようなので：言い直し

指数法則が成り立つかどうかについて

＞ 一点であっても成り立たないということの影響は大きいと思いますよ。

としながら、連続性が成り立つかどうかについて

＞ ほとんどの場合に成り立つことを、検証もせずに信じることは、危険なことです。

としているのは、二重基準であり、
嗜好と思考の区別がついていないという意味で

問題のある考え方と思います。

参考URL：http://d.hatena.ne.jp/keyword/%a5%c0%a5%d6%a5%b9 …

この回答へのお礼

No.23:
＞ついには、指数法則が制限を受けることと、連続性が制限を受けることのトレードオフを

これを読んで、やっと分かりました。
0^0=0 と定義することで指数法則が制限を受けることと、
0^0=1 と定義することで連続性が制限を受けること、
これを比べて、二重基準と言っているのですね。

意味は分かりましたが、指摘は間違いです。
0^0=0 と定義しても、0^0=1 と定義しても、未定義としても、連続性は影響を受けません。

どのように定義しても、0^0 に連続性は無いのですから、点0^0 の連続性に変化はありません。

関数としてのべき乗は、元々連続な関数ではありません。
＃数学用語に自信はありませんので、例示で説明します。
＃言っていることは、連結とか別の事かも知れません。
sin(x)/x は x=0 で未定義で、それ以外では連続です。
定義域は x=0 を除いた実数となりますが、これを定義域全体で連続だとは言わず、 sin(x)/x は x=0 で不連続と言います。
これと同じ意味で、べき乗x^y も x=0,y=0 で連続ではありません。
もしこれが勘違いであったとしても、不連続な点を未定義に変えていびつな領域を作ってみて、有用性が増えるとは思えないのです。

したがって、0^0=1 と定義することは、点の連続性も関数の連続性も元々ないので、連続性を損ねているのではないし、少なくとも有用性は減少しないと思います。

ありがとうございました。

お礼日時：2008/11/18 09:42

No.10 回答者： Tacosan 回答日時： 2008/11/13 20:52

2変数関数 f(x, y) を「べき関数」というための条件を＊全て＊列挙してください. ああ, もちろん「^」という記号は使用禁止

.

この回答への補足

間違いが見つかりましたので、訂正します。(6)を追加。
(1) f(x,y+z)=f(x,y)*f(x,z) ただし x≠0 or (y>=0 and z>=0)
(2) f(x,y*z)=f(f(x,y),z) ただし x≠0 or (y>=0 and y*z>=0)
*(3) f(x,-1)=1/f(x,1) ただし x≠0
*(4) f(0,-1)≠0
(5) f(x,0)=1
(6) f(x,y+1)=f(x,y)*x

＃元の条件では、f(x,y)=1 も解になりました。
*は削除します。
(5)は(1)(2)(3)(4)から導くことができます。

補足日時：2008/11/15 02:39

この回答へのお礼

私の考えるべき乗は、次の法則を満たすものです。
(1) f(x,y+z)=f(x,y)*f(x,z) ただし x≠0 or (y>=0 and z>=0)
(2) f(x,y*z)=f(f(x,y),z) ただし x≠0 or (y>=0 and y*z>=0)
(3) f(x,-1)=1/f(x,1) ただし x≠0
(4) f(0,-1)≠0
(5) f(x,0)=1
＃(3)(4)と(5)は、どちらか一方

(2)に y=z=1 を入れる。
f(x,1)=f(f(x,1),1) ⇒ f(x,1)=x
(1)に z=1 を入れる。
f(x,y+1)=f(x,y)*x ただし x≠0 or y>=0
この２つが、一般的なべき乗の定義となる。

(1)に y=z=0 を入れる。
f(x,0)=f(x,0)*f(x,0) ⇒ f(x,0)=1 or 0
(2)に y=0,z=-1 を入れて、(3)(4)を適応する。
f(x,0)=f(f(x,0),-1)=1/f(x,0) ⇒ f(x,0)=1 or -1
二つの結果より、(5)が導かれる。

いつも、厳しいチェックありがとうございます。

お礼日時：2008/11/14 07:27

No.8 回答者： arrysthmia 回答日時： 2008/11/13 12:54

←No.6 補足

＞ 確かに決まりはないのですが、一点であっても成り立たないということの影響は大きいと思いますよ。

と

＞ 連続性は、必要条件でも十分条件でもありません。
＞ ほとんどの場合に成り立つことを、検証もせずに信じることは、危険なことです。

とが、ダブルスタンダードになっていることは、

問題のある考え方と思います。

この回答へのお礼

前の文は、成り立たないものが１例でもあると、矛盾が導かれる場合が多いと言っています。
多分、0÷0=0 の式を定義すると、矛盾だらけとなるでしょう。

＞連続性は、必要条件でも十分条件でもありません。

失礼しました。連続性は、値の決定のための十分条件です。
＃近傍の連続性だけでは、値は決定できませんが。
連続でないけど値が決定できる関数は、（そう定義すれば良いだけなので）いくらでもあります。

後の文は、高校で習うような関数を基にして、連続性と値が決定できることを混同するのは良くないという意味です。

どちらも、数学の場合、大体合っていれば良いというものではないという意味で使っています。
ダブルスタンダードの意味は、理解できなかったのですが、どういうことでしょうか？

ありがとうございました。

お礼日時：2008/11/13 14:01

No.7 回答者： Tacosan 回答日時： 2008/11/13 10:50

#4 と同値なんだけど,

a^(r*s)=(a^r)^s
が
a=0, r=0, s=-1
で成り立たないはずはないとなぜ言える?
ついでにいうと, a=0, r=0, s=-1 で成り立つと仮定しても得られる式は
0^0 = (0^0)^-1
でしかなく, ここから 0^0 = ±1 とするには論理に飛躍があるような気がします. どのようにして 0^0 = ±1 を導いたのか, 教えてもらえますか?

この回答へのお礼

＞成り立たないはずはないとなぜ言える?

それは多数がどう考えるか、です。
ただし、指数法則が否定されることと、0^0=1 と定義することの、どちらが納得できますか、という質問をした上でですが…
指数法則が成り立ち、かつ、0^0=1 以外になることはないのですから、どちらかを選ばなくてはならないのです。
選ばない場合は、現状のように、未定義となります。

「0^0=0 の場合は指数法則が成り立たない」という記述を加えたら、0^0=0 の説明ごと削除されたので、指数法則が成り立つことは、0^0=0 という主張よりは重視されているようです。

＞0^0 = (0^0)^-1
＞でしかなく, ここから 0^0 = ±1 とするには論理に飛躍があるような気がします.

x=x^(-1) に対し、x≠0 と仮定して x を掛けると、x^2=1 となりますから、通常の人は x=±1 と結論を出すと思います。
x=0 の場合は、0=0^(-1) となり、これを正しいと思える人は、少数派だと思います。
現在の定義では、x^(-1) は、x*x^(-1)=1 を満たす数とされますが、それも否定しますか？

ありがとうございました。

お礼日時：2008/11/13 13:20

No.6 回答者： waiwai_21 回答日時： 2008/11/13 05:01

連続性は確かに

0^0 を未定義と「しなければならない」という理由にはなりませんが
0^0 を未定義と「したほうがよい」という理由にはなります。

同様に質問者様が回答のお礼で述べている主張も
0^0 を1と「したほうがよい」という理由にはなるかもしれませんが、
0^0 を1と「しなければならない」という理由にはなりません。
確かに、0^0でも指数法則が成り立ってほしいとは思いますが
成り立ってなければならないという決まりはないからです。

そもそも0^0が「こうでなければいけない」という絶対的な理由は
ないので、0^0の一般的な扱いを考えるならば、いろいろな立場から
「こうしたほうがよい」という理由を考え、そのなかから
どれが一番適切か選び出すしかないと思います。

私個人としては、連続性というのも数学的に重要な概念であり、
どの点でも成り立って欲しいので、成り立たないような
異質な点があるくらいなら、むしろ未定義としておいた方が
良いのではないかと考えています。
もしどうしても0^0に実数を割り当てるとするなら、わたしも
1にすると思います。ただし、1でなければいけないとは考えません。

この回答へのお礼

＞0^0 を未定義と「したほうがよい」という理由にはなります。

これは、ある程度理解しています。
利便性の判断は、常識が優先しますので、私が口を挟むことではありません。

＞確かに、0^0でも指数法則が成り立ってほしいとは思いますが
＞成り立ってなければならないという決まりはないからです。

確かに決まりはないのですが、一点であっても成り立たないということの影響は大きいと思いますよ。
数学は、法則を決めた時、どういう性質が表れるかということが、興味の対象であるとも言えるでしょう。（と個人的に感じています）
ある法則を満たすものを、群とか環とか名前を付けて、あるものが群なのかどうかが問題になったりします。
べき乗も同じで、指数法則が成り立つものをそう呼んでいるのです。（と個人的に感じています）
少なくとも、指数法則が成り立たない点を加えた場合、その理論に矛盾がないかどうかは自明ではない訳で、そう簡単な話ではないと思います。

＞1でなければいけないとは考えません。

0^0=0 の記述は削除されましたので、1 でなければいけないということは、一部認められたと考えています。

＞異質な点があるくらいなら、むしろ未定義としておいた方が
＞良いのではないかと考えています。

問題のある考え方と思います。
連続性は、必要条件でも十分条件でもありません。
ほとんどの場合に成り立つことを、検証もせずに信じることは、危険なことです。

私がしていることは、0^0=1 と決めることではなく、なぜ未定義なのかという理由を明確にすることです。
1=0.999.. については、随分と詳しく説明されていますが、0^0 については、指数法則との関係が一切説明されていません。
唯一、「連続性が問題かな～」と説明されているくらいです。
それで皆が納得していることに、私は不満なのです。
結果としての 0^0=1 は、ついでに過ぎません。

ありがとうございました。

お礼日時：2008/11/13 11:21

No.5 回答者： arrysthmia 回答日時： 2008/11/12 20:18

また今回も、微妙～なレトリックで、印象だけの話をしていますね。

そういう姿勢そのものが、あまり数学っぽくないのだけれど…

「0^0 を未定義としなければならない理由は、存在しない」
この主張は、正しい。　ただし、
「sin 0 を 0 と定義しなければならない理由は、存在しない」
と同程度に正しい　という意味で。

定義とは、任意に行うものです。
「x ≠ 0 のときは x^2，x = 0 のときは値 π をとるような
関数を、本書では sin x と書く」と、明示して断ってしまえば、
その本の範囲では、sin x は、その意味になります。
後は、普通の sin x と混用しないように、一貫して使えばok。
読者からは、馬鹿な奴だと思われますが、記述に矛盾はありません。

「本書では、0^0=1 と定義する」も、この意味ではok。
誰も止めません。変わった人だなぁと思うだけです。

「0^0 を未定義としなければならない理由」など、原理的に
存在しようがないのです。　ただ、
「0^0 を未定義としないと、臍の裏が痒くて落ち着かない理由」が
山ほどある　というだけのことです。

この回答へのお礼

0^0 を未定義とする理由として、連続性がないことが言われています。
それが理由として、本当に正しいのかどうかの確認が、今回の質問です。
それに絞って回答いただければ、と思います。

私は、質問で書いたような論理で、連続性がないことは理由にならないと考えました。
どこに間違いがあるのでしょうか？

＞「0^0 を未定義としないと、臍の裏が痒くて落ち着かない理由」が
＞山ほどある　というだけのことです。

常識としての「0^0 は未定義」は否定しようのない事実なので、それはしょうがないのですが、未定義とする理由は間違っていると思うので、その部分の（Wikipediaの）訂正を考えています。

ありがとうございました。

お礼日時：2008/11/12 21:42

No.4 回答者： Tacosan 回答日時： 2008/11/12 14:45

a^(r*s)=(a^r)^s

が
a=0, r=0, s=-1
で成り立つことはなぜ言える?

この回答へのお礼

＞a=0, r=0, s=-1
＞で成り立つことはなぜ言える?

成り立つべきだ、とは言っていません。
0^0=(0^0)^(-1) が 0^0=0 では、成り立たないと言っています。

そして、成り立たないはずはない、と考えると 0^0=1 になります。
成り立たなくてもよい、と考えると、0^0 は決まりません。
考えたくなければ、未定義となります。

指数法則は、べき乗の値を決める唯一の方法です。
それを否定して、べき乗の値を決めるのに抵抗を感じる人は、多いのではないでしょうか。

ありがとうございました。

お礼日時：2008/11/12 21:20

No.3 回答者： masa2211 回答日時： 2008/11/12 02:17

＞また、0^0=1 と仮定しても、x>0 について、0^x=0 が証明できるので、

＞0^0=1 という仮定とlim[x→+0]0^x=0 には矛盾がありません。

この部分が変です。
未定義とは、昔の言い方では不定と不能。この2つをあわせたのが未定義。
すなわち、解が1通りに定まらないこと。(解がゼロ個の場合と複数ある場合の2とおりがある。)
複数の解があるなら、0^0を複数の値を仮定しても矛盾は起きません。
したがって、矛盾が無いということだけでは、未定義でないという証明になりません。
したがって、未定義でないと言うなら、解は1通りに定まることを示さないとダメです。
つまり、0^0≠1で矛盾が生じることを示す必要がありますが、fusem23さんは、まだそれを示していません。
よって、数学の証明としては成立しません。

この回答へのお礼

不能でないことは、了承できると受け取りました。

解が１であることは、次の様に示せます。
a^(r+s)=a^r*a^s
これに、a=0,r=0,s=0 を入れると、a^r=0 or 1 であることが分かります。
a^(r*s)=(a^r)^s
これに、a=0,r=0,s=-1 を入れると、a^r=1 or -1 であることが分かります。
通常、指数法則は 0^0 に対して意味ないとするのですが、0^0 を決めると、指数法則の真偽も決定され、真であるためには、0^0=1 としなければならないのです。

未定義とすると、指数法則の真偽も未定となり、矛盾は発生しないので、未定義を否定はできませんが、定義する場合は、解は１通りに定まると思います。

ありがとうございました。

お礼日時：2008/11/12 10:26

No.2 回答者： info22 回答日時： 2008/11/11 19:24

#1です。

A#1です。
私的には0^0=0とするか、0^0=1とするかは関心がありません。

>この質問では、関数y(x)=0^x を考えた場合、y(0)=1 でも矛盾は生じないと
>いう点を確認しています。
ここは都合いいように解釈されていると思います。
y(x)=0^x(x>0,x→+0)とy(x)(x=0)とは切り離して考えた方がいいでしょう。

>0^0 の値と、関数y(x) の極限値は、無関係なのです。
この事は
y(x)=x^x or 0^x(=0) or x^0(=1)（x>0,x→+0)
と
y(0)=0^0
とは無関係といわれる通り
y(0)は「1」でなくてはならないと言う事には
ならないでしょう。

0^0=0派の人からすれば、上記の事は逆の理論展開もできますね。
互いに矛盾をはらんでいますので、論理の展開に無理があります。

どちらの定義であろうと関心は無いですけど、矛盾が無い論理なら、国際的な数学会で統一されるかと思います。現に統一に至っていないのは、どちらの論理にも無理があるからでしょう。

(参考)
Googleでの扱い
0^0=1,x^0(x>0),0^x=0(x>0),0^x=error(x<0)

Maximaでの扱い
0^0=error,x^0=1,0^x=0(x>0),0^x=error(x<0)

Maple10での扱い
0^0=1,x^0=1,0^x=0(x>0),0^x=Float(∞)(x:負の実数),0^n=error(n=負の整数)

Windows内蔵関数電卓での扱い
0^0=1,x^0=1(x≠0),0^x=0(x>0),0^x=無効(x<0)

この回答へのお礼

＞0^0=0派の人からすれば、上記の事は逆の理論展開もできますね。

それを言うなら、せめて指数法則を満たすことを示してください。
または、指数法則を満たさない値でも良いという考えでしょうか？

ありがとうございました。

お礼日時：2008/11/12 00:01

No.1 回答者： info22 回答日時： 2008/11/11 13:36

> x>0 ならば 0^x=0 なので、極限値も 0 になる、と思います。

正しいでしょう。極限はゼロに限りなく近くてもx≠0ですから。

>0^0 が計算できないからです。
これは未定義とされています。

0^0=0と定義しても、0^0=1と定義して使っても、
定義した人が自己矛盾しないように理論を組み立てれば
いいでしょう。
ただ、一般的にそれが受け入れられるかは別の問題です。
丁度、平行線は交わらないとするか、無限円で交わるとするか、の定義の問題に似ています。

y=x^x(x>0)のグラフをプロットすると
x→+0の時　x^x→1
となりますので
0^0=1と定義すると合理性があります。

一方、
x>0で,　0^x=0ですから
x→+0の時　0^x→0です。
0^0=0と定義することも合理性があります。
でもx=0とx→+0とは異なります増すので
x=0でのx^xの定義は単純に定義できませんね。

2つの定義は相容れませんから、
無定義（定義しない）として一般には扱われているわけです。
それぞれの定義を使う人が、その定義に矛盾しない理論展開を
すればいいのであって、0^0=0または0^0=1とどちらの定義を使っても
構わないでしょう。
しかし、他方の定義を使っている人を否定しあっても、
水掛け論になるだけでしょう。
一意に値の確定できない「0^0」は定義しないでおき、
それを使う（分野の）人の責任で定義して自己矛盾のない理論
展開をすればいいでしょう。
普通の（数学を扱う）人には、どちらに定義しても、未定義
としてもあまり支障は無いでしょう。

と私的には思います。

この回答へのお礼

この質問では、関数y(x)=0^x を考えた場合、y(0)=1 でも矛盾は生じないという点を確認しています。
0^0 の値と、関数y(x) の極限値は、無関係なのです。
そして、x^0,x^xなどの極限値は 1 なので、y(0) も 1 にすると、すべてが丸く収まり、0^0 が定義できるようになります。

＞これは未定義とされています。

未定義ですけど、その理由は存在しませんよね？、という問いかけです。

＞0^0=0と定義することも合理性があります。

これを仮定すると、指数法則に反するので、その定義はできません。
指数法則を成り立たせようとすると、0^0=1 と一意に確定されます。

ありがとうございました。

お礼日時：2008/11/11 18:08