関数0^xは0^0=1か

極限値lim[x→+0]0^x が何故 0 になるのか。
0^1=0 は定義から明らかです。
指数法則が成り立つと仮定すると、次のことも証明できます。
m∈N について、0^m=0
n∈N について、0^(1/n)=0
m,n∈N について、0^(m/n)=0
よって、x>0 ならば 0^x=0 なので、極限値も 0 になる、と思います。
＃多分、指数法則以外に方法は無い。

でも、これは 0^0=0 を意味しません。
a^(r+s)=a^r*a^s は、a=0,r>0,s<0 では意味を持たないので、
どんなに小さな r=m/n について 0^r=0 が証明されても、r>0 である限り、0^0 が計算できないからです。
つまり、関数0^x について、x=0 での値を求める方法は存在しません。

また、0^0=1 と仮定しても、x>0 について、0^x=0 が証明できるので、
0^0=1 という仮定とlim[x→+0]0^x=0 には矛盾がありません。
結局、連続性がないことは、未定義とする理由として不十分で、
「0^0 を未定義としなければならない理由は、存在しない」

この説明に問題はありますか？

No.21 回答者： Beryllinth 回答日時： 2008/11/16 02:46

#20さん

＞べき乗に連続性を求め続けている少数派から一言。

コメントありがとうございます。敢えてfusem23さんだけにわかるように、意図的にややこしい文章を使わずに書いた結果こうなりました。もちろん最終的には、私もべき乗に連続性を声高に求めるうちの一人です。

当初、通常の指数関数に0^0=1という定義を追加しようとすると連続性が失われる、という方向で話が進みました。普通ならこれで話は終わるのですが、いつまでたっても話は平行線をたどります。ここで私は気づいたのですが、fusem23さんの至上命題は、「指数法則を保つ」ことなのではないかと。それでは一旦、通常の指数関数も連続性も何もかも忘れて、指数法則を保つことだけに主眼を置いて「fusem23さんのべき乗」を構成していけばいいのではないかと思いました。話がそのような流れになってきているようだったので、そこに乗っかった次第です。

このようにして「fusem23さんのべき乗」が正しく構成された後、その連続性について精査する段階がやってきます。この段階で、おそらく最大の困難が立ちはだかるでしょう。そうしたときに、まだ0^0=1を主張するか、それとも定義の修正に立ち返るか、それはまだわかりません。それは今後の成り行きを見たいと思います。

そういう意味で、
「誰一人として（fusem23さんが構成する）べき乗に連続性は求めていない」
と書かせてもらいました。私も、本来ならもっと簡潔に、例えば「exp(x)をe^xと書きたい」などのように一言で済ませたい気持ちはやまやまです。

この回答へのお礼

＞意図的にややこしい文章を使わずに書いた結果こうなりました。

褒め言葉として受け取っておきます。
0^0 は、中高生が抱く疑問ですので、難しい数学の言葉だけで話を進めてもしょうがないのです。
私が理解できるように、中高生にも分かる言葉で説明してもらえるなら、喜ばしいことです。

＞この段階で、おそらく最大の困難が立ちはだかるでしょう。

多分、連続性という壁を、あらかじめ建てておいてもらわないと、困難は訪れません。
現状では、「連続性はあった方が良い」という認識です。

ありがとうございました。

お礼日時：2008/11/16 12:01

No.20 回答者： arrysthmia 回答日時： 2008/11/16 00:27

←A No.18

＞ 実は誰一人として、べき乗に連続性を求めてはいなかったことに気づくはずです。

べき乗に連続性を求め続けている少数派から一言。

No.10 補足にある定義、または類似の方法で、指数法則を保つことによって
乗算の繰り返しの延長として定義することができるのは、x^y の y が有理数である範囲
に限られます。もとより、y を有理数や整数や自然数の範囲に限定するならば、
0^0 の値は 1 と定義するのが自然です。

x^y の y を実数まで広げようとすれば、有理数体が四則について閉じていることより、
指数法則のみでは無理数乗を定めることはできず、普通行われているように
x^y = lim[z→y] x^z を定義の一部に取り入れざるを得ません。

このように、実関数としてのべき乗は、定義の時点から、連続性と切っても切れない
関係があるのです。ですから、0^0 の所だけ特別に、連続性を度外視して定義しよう
という発想は、場当たり的で不自然です。

このような物言いは、あるいは「二つの関数を混同」しているのかも知れませんが、
それでも私は、exp(x) を e^x と書きたい…という気持ちが捨てられません。
有理数乗に限定された、多項式の計算に馴染む「べき乗」がべき乗であって、
指数関数とは別物…という考えには、(主に感情的な理由から)賛成しかねます。

この回答へのお礼

＃No.11のお礼がまだですが、理解できていないだけで、他意はありません。

べき乗についての考え方も色々あるのでしょうが、私の考えはWikipediaに基づいていることをご了承ください。

＞指数法則のみでは無理数乗を定めることはできず、普通行われているように
＞x^y = lim[z→y] x^z を定義の一部に取り入れざるを得ません。

べき乗は、指数が有理数です。
よって、この式が本当にべき乗の定義に使われているかについて疑問があります。
そして、有理数でのみ定義されている場合に、極限値が通常のように求められるとの確信もありません。
＃多分大丈夫かな、と思いますが、質問文では注意して書きました。

＞指数関数とは別物…という考えには、(主に感情的な理由から)賛成しかねます。

べき乗と指数関数の違いは、けっこう大きいです。
べき乗の底は、積が定義されていれば良くて、指数関数では対数が求められるものだけとなります。
べき乗の指数は、整数限定などの制限が多く、指数関数では割と自由で行列なども（制限付きで）使えます。
これを一つの概念で捉えるのは、数の範囲を広げれば広げるほど、私には難しいです。

ありがとうございました。

お礼日時：2008/11/16 11:21

No.19 回答者： Tacosan 回答日時： 2008/11/15 21:56

えぇと, 結局 (1), (2), (5), (6) で定義しよう, ってことね? それなら OK. 本当は定義域も規定しておく必要があるかな.

ついでにいうと, (6) は多分 #16 に対して書かれているように
(6') f(x, 1) = x
の方がよりきれいでしょう. (6) には 2個の変数が含まれていますが, (6') には 1個の変数しか含まれていないのでより単純です. (6) と (6') をとりかえていいならとりかえておいた方がいいと思います.
ただ, 問題なのは #16 のところで「指数法則を満たした拡張としては、唯一の関数です」と言ったところですね. 確かに #10 に対して書かれた「指数法則」を満たす関数ではありますが, この「指数法則」は一般的に使われる指数法則とは異なります (なぜなら (0, 0) に関して一般的な指数法則では規定していないので). つまり, この「拡張」は一般的な指数法則を満たす関数の拡張ではありますが, 一般的な指数法則を満たす関数の拡張としての唯一性は疑問です.
例えば
[1] f(x, y+z) = f(x, y) f(x, z)
[2] f(x, yz) = f(f(x, y), z)
[3] f(0, x) = 0
[4] x が逆元を持てば f(x, -1) = 1/x
をベースにしても「一般的な指数法則を満たす関数の拡張」ができるはずです.
「一般的な指数法則」と「あなたが今与えた指数法則」は区別してください. そして, あなたが与えた「指数関数」も「fusem23 の指数関数」として, 普通にいわれる指数関数とは区別できる記述を与えていただけるようお願いします.

この回答へのお礼

定義域は、{ x,y | x,y ∈ R, x > 0 or (x = 0 and y >= 0) }。
＃複素数が絡むと、ついて行けない気がするので。

(2)は、不要でしたので、削除します。
(6)は、そのままにします。
整数乗だけを考えると、(1)も要らなくなるので。
結局、(1),(5),(6)になります。
(1) f(x,y+z)=f(x,y)*f(x,z) ただし x≠0 or (y>=0 and z>=0)
(5) f(x,0)=1
(6) f(x,y+1)=f(x,y)*x ただし x≠0 or y>=0
＃番号を変えると混乱するので、そのままにします。
＃定義域が決まると、個別のただし書きは不要？

＞この「指数法則」は一般的に使われる指数法則とは異なります

この「指数法則」にも、指数関数用の「指数法則」とべき乗用の「指数法則」があるような気がしています。
指数関数に使われているのは、底が正の実数という前提のもので、定義域全体について有効です。
べき乗に使われているのは、底が 0 の場合を含むと推定していますが、その場合の指数の範囲に固有の規定があるかは不明です。
原理的には、「指数法則」にも定義域があるのでしょうが、現状では関数の定義域と同じという規定であると思われ、その場合はべき乗の定義域と共に「指数法則」の定義域も広がります。
とはいえ、0^0 を定義しない「指数法則」も考えられるので、それを一般的な指数法則を満たす関数というのであれば、そういう拡張もあり得るでしょう。
ただ、指数法則に従わないべき乗という関数が存在しないように、一点であっても指数法則に従っていないならば、通常はべき乗とは呼ばない気がします。
＃指数法則を部分的に無視すれば、その範囲だけ任意の値が定義できるのは自明ですから、少なくとも、私はそんな関数に興味はありません。

＞＞指数法則を満たした拡張としては、唯一の関数です。

関数の定義域全体で一般の指数法則と同じ形の法則が定義され、それを満たした拡張としては、唯一の関数です。

ありがとうございました。

お礼日時：2008/11/16 03:21

No.18 回答者： Beryllinth 回答日時： 2008/11/15 20:35

#17です。

#17の補足
＞ただ、その指数関数とべき乗は、別物ではないかと考えます。

はい。その通り、別物です。

＞互いは指数法則という共通の性質を備えていますが、目的が異なります。
＞指数関数は連続性が重視され、べき乗はaをb回掛けるということが表せなければなりません。
＞両者の定義域は似通っていますが、0^b が含まれるかどうかに違いがあります。
＞指数関数では、底が 0 の指数法則を考慮する必要はありません。

ご理解頂けてうれしいです。まさに私が言いたかったことそのものです。

＞私には、べき乗に連続性を求めるのは、この２つの関数を混同しているのではないかと感じられます。

で、ポイントはココなのですよね。よぉく今までの（特に初期の頃の）やりとりを注意して読み返してみてください。実は誰一人として、べき乗に連続性を求めてはいなかったことに気づくはずです。おっしゃるとおり、この２つの関数を混同してはいけません。Tacosanさんなどが「^という記号の使用は禁止！f(x,y)という書き方だけでべき乗を構成しましょう」とおっしゃられているのはそのあたりが理由です。別物が同じ記号で書かれていては混乱を招くので、（べき乗の定義を構成するという作業の段階では）積極的に別記号を使うべきだとおっしゃられているのだと思います（ですよね？）。

あとはfusem23さんが要請された５つの指数法則の条件ですね。例えば「（５）は（１）（２）（３）（４）から導かれる」という場合には、（５）は書く必要ありません。よりシンプルにいきましょう。全体的な方向性としてはこれでよいと思います。がんばってください。

この回答へのお礼

＞実は誰一人として、べき乗に連続性を求めてはいなかったことに気づくはずです。

それはそうだったのかもしれませんね。
ただ、0^0 を定義しようとすると反対が多かったのも事実で、実際未定義には利便性がある、という主張がされています。
＃ないと反論するつもりはないですが…

＞よりシンプルにいきましょう。

まだ始めたばかりで、試行錯誤の最中です。

ありがとうございました。

お礼日時：2008/11/15 22:33

No.17 回答者： Beryllinth 回答日時： 2008/11/15 02:23

#14です。

#14の補足
＞微分方程式の解として現れる指数関数は、底が正の実数です。

私が導入した方法から定まる指数関数には、「底」という概念は存在しません。

＞底が 0 の関数は存在しないので関数0^x が連続であろうとなかろうと、指数関数は定義域すべてで連続になります。

底という概念は存在しないので、その言葉を使わずに再記しますと、拡張されたべき乗「a^b」を私はexp(b×log(a))と定義しました。expなんたらかんたらと書くのが面倒くさいので、a^bという書き方をしているだけです。で、この拡張されたべき乗の定義によれば、aは0と負の実数になることはできません。関数0^xというものはもとより存在しないわけです。

＞よって、0^0 の値と微分方程式には、何ら関係がありません。

おっしゃる通り、何ら関係がありません。そして私は、関係性があることを示唆したことは一度たりともありません。


とは言え、私の導入した指数関数が、底eの「我々がよく知る」指数関数となることは誰もが知る事実です。しかしそれを知るのはまだ先の話です。

私が、かなり屁理屈を言っているように聞こえるのは重々承知しています。私も最初、数学のどの本もこのような屁理屈論調でしか書かれていないのを見て、全く意味がわかりませんでした。何がしたいのかさっぱりわからなかったんです。しかし後に、こういうやり方こそが数学だということが少しずつわかってきました。

微分方程式云々のことは一旦忘れて、fusem23さんのまさに主目的である、「指数法則を満たすべき乗の導入」について考えてみますと、まずは「指数法則とは何か」を厳密に述べなければいけません。そして、Tacosanさんが丁寧に誘導されているように、その「指数法則」を満たす２変数関数f(x,y)を定めるのが次のステップです。まずはそのようなf(x,y)の存在だけでも示せればいいでしょう。そしてそれが、我々のよく知る「べき乗」と一致することを確かめます。

これで最初の作業は終了です。こうして定められた「べき乗」が連続性を持つかどうかを調べるのは次のステップです。連続性は指数法則では要請されていないので、成り立つかもしれないし、成り立たないかもしれません。「指数法則を満たす」ことのみから定められたべき乗に連続性がなかったとしても、誰も口は挟みません。連続性を重要視する派から見れば、「ああ、そんな【限定された】べき乗があっても別にいいよね。自分は興味無いけど」と感じるだけであって、べき乗を否定するようなことはしません。

うまく文章を締めくくれなかったですが、長文になるのもアレなので、このあたりで失礼します。

この回答へのお礼

微分方程式を満たす関数として指数関数が得られ、指数関数が連続性を持つのは極めて重要な性質である、ということは認めます。
ただ、その指数関数とべき乗は、別物ではないかと考えます。
そこで、私の考える、べき乗と指数関数の違いをまとめてみます。

べき乗は、aをb回掛けるという概念を拡張して作られた関数です。
まず、実数の自然数乗が作られ、それを指数法則によって拡張していったのがべき乗です。
その中には、0^(-2) などといった、意味が不明な数字の組み合わせも含まれています。

指数関数は、微分方程式の解として現れる関数です。
より一般的な、２変数関数に拡張され、a^b=exp(b×log(a)) で定義されます。
指数関数は連続であり、未定義となる数字の組み合わせは含まれていません。

互いは指数法則という共通の性質を備えていますが、目的が異なります。
指数関数は連続性が重視され、べき乗はaをb回掛けるということが表せなければなりません。
両者の定義域は似通っていますが、0^b が含まれるかどうかに違いがあります。
指数関数では、底が 0 の指数法則を考慮する必要はありません。

私には、べき乗に連続性を求めるのは、この２つの関数を混同しているのではないかと感じられます。
べき乗は、aをb回掛けるという目的に邪魔なら、連続性に拘るべきではありません。

＃a^1=a が定義に必要な理由は、自分でやってみて理解しましたので、定義への疑問の部分は撤回します。

＞私が、かなり屁理屈を言っているように聞こえるのは重々承知しています。

私にその理屈が足りないことは自覚しているので、それを補ってもらえるのはありがたいと感じています。

ありがとうございました。

お礼日時：2008/11/15 11:26

No.16 回答者： jmh 回答日時： 2008/11/14 22:47

> この説明に問題はありますか？

>
この説明は、こんな↓感じに聞こえます。

f: ０^３、０^２、０^１は、すべて＝０ですが、０^０は何でしょう？
j: 直感ですが、＝０ですか？
f: いいえ、０^０は未定義なので、答えはありません。
j: （いぢわるですか？）
f: ところで、０^０＝１としても矛盾しません。なぜなら未定義だから。
j: （だから？）
f: 結局、０^０は（理由もなく）未定義なのです。
j: では、（連続に延長して）＝０としてもいいのですか？
f: いいえ、＝１なのです（質問タイトル）。
j: …？

質問。もしかして、#10のお礼の条件で（定義域が素敵な）ｆが一意に？決まるんですか？

この回答へのお礼

＞f: ０^３、０^２、０^１は、すべて＝０ですが、０^０は何でしょう？
＞j: 直感ですが、＝０ですか？
いいえ、＝０は否定されます。
指数法則を満たさなくてよいなら、＝０とできます。
でも、指数法則を基にして関数を定義しようとしているのに、
あるいは、その関数が満たす法則として指数法則ができたのに、
その関数に指数法則を満たさない点が存在するのは変でしょう。

＞f: ところで、０^０＝１としても矛盾しません。なぜなら未定義だから。
未定義の理由は、値が１つに決まらないか、何に決めても矛盾する場合です。利便性というのもあるようですが…
したがって、未定義＝何でもよい、ではありませんので、この場合の理由には使えません。
矛盾しないのは認めているみたいですので、ついでに値が１つに決まることも認めれば楽になります。

＞もしかして、#10のお礼の条件で（定義域が素敵な）ｆが一意に？決まるんですか？
＃検証により、間違いが見つかりました。
＃f(x,1)=x または f(x,y+1)=f(x,y)*x が必要みたいです。

0^0=1 と値が定まるべき乗が導かれます。
指数法則を満たした拡張としては、唯一の関数です。
通常のべき乗との違いは原点のみです。
矛盾点も見つかっていません。

ありがとうございました。

お礼日時：2008/11/15 02:39

No.15 回答者： waiwai_21 回答日時： 2008/11/14 19:28

#6です。

>連続性は、必要条件でも十分条件でもありません。
>ほとんどの場合に成り立つことを、検証もせずに信じることは、危険なことです。

私は成り立つことを信じているわけではありません。
連続性が成り立ってない点を加えた場合、いろいろな不便、不都合が
起こるのではないかということを懸念して、そんなあやしい点を入れるくらいなら、
とりあえず未定義としておいた方が無難だということを言いたかったんです。
0^0を未定義としたところで、他の点における指数法則を壊してしまう
わけでもありませんしね。
もちろん、0^0=1とすることで、連続性の問題なんか気にならないくらいの
数学的恩恵があるなら、話は変わってきます。

私からすれば、0^0=1とすることの利点や欠点を検証せず、
指数法則があるからという理由だけで、一般的な定義に加えようと
することこそ危険なことだと思います。
もしかしたらそのせいで、せっかく秩序だった理論体系を壊したり、
数学的利便性が失われてしまうかも知れないのですから。

もし、連続性を理由に0^0を未定義にすることが不満であるなら、
連続性によって大して困ったことは起きない、もしくはそれより
いいことがある、ということなど、なにか説得力のある根拠を持って
反論すべきです。

この回答へのお礼

＞私からすれば、0^0=1とすることの利点や欠点を検証せず、
＞指数法則があるからという理由だけで、一般的な定義に加えようと
＞することこそ危険なことだと思います。

同感に思います。
私自身は利便性に興味はありませんが、未定義に利便性がある（と多くが思う）のなら、0^0=1 と定義しようとはしません。
ただ、それと同時に、0^0 が一意に決まり矛盾なく定義できるなら、そう伝えたいと思います。
利便性が欲しければ、利便性のある定義を使えばいいし、理論を重視したければ、そちらの定義も使える、そういう状態が良いと思います。
＃私の考えの方が理論的だと言っているのではありません。
＃使う人が理論的と思える方を使うという意味です。

ところで、「利点や欠点を検証せず」というのは、未定義にしようとする場合にも言えることです。
具体的な利便性として、微分方程式の解との関係がNo.9で述べられています。
「連続性が無いと困る人が0^0を未定義としている」は、利便性として十分なものです。
ところが、連続性を必要としているのは指数関数だと考えました。
＃べき乗と指数関数が分かれている理由を誤解しているかもしれませんが…
それなら、指数関数の定義域から 0^0 を除けば良いのです。
こういう検証も行っています。

＞もしかしたらそのせいで、せっかく秩序だった理論体系を壊したり、
＞数学的利便性が失われてしまうかも知れないのですから。

その心配はないでしょう。
どんな変更でも、影響は限定的ですし、それが全体に影響するのは長い時間経った後です。
それだけの時間があれば、ここに気をつければ良いというノウハウが作られるに十分でしょう。
＃大体、そういう心配がないから、ほっとかれているのだと思う。

ありがとうございました。

お礼日時：2008/11/15 03:54

No.14 回答者： Beryllinth 回答日時： 2008/11/14 13:43

#9です。

#9の補足
＞微分方程式f'(x)=f(x)、f(0)=1の解とするなら、なぜ指数関数の定義が、a^0=1 ではないのでしょうか。
＞実際の定義は a^1=a ですので、これでは、f(1)=e の方程式の解を求めていることになります。
＞f(0)=e/e=1 と求められ、この関数も微分方程式を満たすことが確認できますが、かなり不自然な定義です。
＞0^0 を未定義とするために、わざわざ a^1=a から始めたのでしょうが、対応がすっきりしていません。

#9の補足にはまだまだ何箇所も指摘すべき点がありますが、あまりたくさん書くとややこしくなりますので、上掲の部分だけに絞りたいと思います。数学の文章としても日本語の文章としてもこのままでは全く解読不可能ですが、粘り強く考察してみたいと思います。

第１行
＞微分方程式f'(x)=f(x)、f(0)=1の解とするなら、なぜ指数関数の定義が、a^0=1 ではないのでしょうか。

全体的に見ると、「○○の定義がＰとするなら、なぜ○○の定義がＱではないのでしょうか」という日本語になっています。「みかんの値段が１個１００円とするなら、なぜみかんの値段は１個８０円ではないのでしょうか」なんていう特殊な言い回しは普通しないですよね。

さらに、「なぜ指数関数の定義が a^0=1 ではないのでしょうか」に注目すると、「なぜみかんの色が、さそり座ではないのでしょうか」と同じ構図になっています。関数の定義が何であるかを言及する文章に、関数でないa^0=1などという数式を出してきても、そうであるともそうでないとも言えるはずはありません。

第２行
＞実際の定義は a^1=a ですので、これでは、f(1)=e の方程式の解を求めていることになります。

「実際の定義は」とは、何の実際の定義ですか？　「実際」とはどういうことですか（誰が決め、どの世界で通用しているのですか）？

さらに、「f(1)=eの方程式の・・・」の「f(1)=e」は方程式ではありません。微分方程式や関数方程式の類でもありません。

全体をこのまま繋ぐと、「（主語なし）の定義は○○ですので、これは（方程式ですらないもの）の解を求めていることになります」と解釈するのが私には精一杯です。もちろん、このままでは全く意味がわかりません。

第３行
＞f(0)=e/e=1 と求められ、この関数も微分方程式を満たすことが確認できますが、かなり不自然な定義です。

eという謎の数が突然現れ、さらになぜか割り算をしています。私は指数関数をe(=2.718...)を使って定義していませんのでeは関係ないですし、まるでf(0)=f(1-1)=f(1)/f(1)であるかのような（まあ、実際はそうなんですが）勝手な法則で勝手に計算を進めています。

「かなり不自然な定義です。」とありますが、数学の世界では一見不自然と思われる定義がたくさんあります。指数関数に限ったことではないですが、高校数学、あるいは大学の数学科以外で学ぶ数学程度の知識では、それがなぜなのかという問いの答えにたどり着くことは難しいでしょう。私は頭があまり良くなかったので、この「なぜこんな定義を」という問いに答えられるようになるまで４年以上もかかってしまいました。最初は、「おかしいだろ、これ」と反発もしたものです。

第４行
＞0^0 を未定義とするために、わざわざ a^1=a から始めたのでしょうが、対応がすっきりしていません。

「0^0 を未定義とするために」とありますが、
私が#9で書いたのは、「このような方法で指数関数を定義して導入すると、0^0は未定義にせざるを得ない（未定義にしたほうが都合がいい）」というものです。0^0を未定義にすることは目的ではありません。

「わざわざ a^1=a から始めたのでしょうが」とありますが、
私はそんなところからはじめた覚えはありませんし、a^1=aなど一言も言っていません。確認したいのですが、この文章で省かれている主語（つまり、「わざわざa^1=aから始めた人」）は誰でしょうか。私？　それともfusem23さん？　それとも昔の数学者？　それとも現代の数学者？　他の回答者さんのうちの誰か？

「対応がすっきりしていません。」は、何と何の対応なのか、さっぱりわかりません。予想するに、私のような奇妙な方法で導入する指数関数と、「2.718くらいの数を何回掛けるか」から出発して導入する指数関数の対応（というより一致）のことではないかなと。これをすっきりさせるのは、一朝一夕では無理なんじゃないかなと思います。

とりあえずは勝手に「何と何の対応」の話なのかを予想してみましたが、できれば主語のしっかりした文を頂きたいところです。



このペースでいくと、いい暇つぶしになりそ・・・じゃなくて、時間がいくらあっても足りませんので、このあたりで。念のため弁護しておきますと、私はfusem23さんの日本語力にはそれほど落ち度があるとは思っていません。しかし、間違った数学用語を間違った論理展開の中で使用した場合、どれだけ国語力があっても、意味不明な文章になってしまうということには気をつけておいたほうがいいと思います。

この回答へのお礼

文章が長くなると、それだけ誤解も生まれますので、短く行きます。
＃内容は、繰り返しになります。

微分方程式の解として現れる指数関数は、底が正の実数です。
底が 0 の関数は存在しないので、関数0^x が連続であろうとなかろうと、指数関数は定義域すべてで連続になります。
よって、0^0 の値と微分方程式には、何ら関係がありません。

ありがとうございました。

お礼日時：2008/11/14 14:29

No.13 回答者： Tacosan 回答日時： 2008/11/14 12:18

「(3)(4)と(5)は、どちらか一方」

という表現は良くないです. 厳密に, 「これらの条件を満たす」ときちんと書いてください. このような書き方は, うがった見方をすると「逃げ道を作っている」ようにも見えます.
あと #12 の極限についてですが, あなたは
lim(x→0) √x = 0
を認めないということでよろしいですか?

この回答へのお礼

逃げ道のつもりはないので、好きなようにしてもらって構わないのですが、簡単さから選べば(5)でしょうね。

＞lim(x→0) √x = 0
＞を認めないということでよろしいですか?

色々な問題を含んでいるので、誤解ない回答は難しいのですが、敢えて答えれば、その式を認めます。

√x は、通常は x^(1/2) の二つの値のうち、正の実数を表します。
その意味では、x が負の場合は、答は正の実数でないので、未定義となります。
しかし、i=√(-1) と定義される虚数が存在し、この場合、(-1)^(1/2) の答となる二つの値のうち、片方を表すというルールがあります。
そして、上記極限値は、虚数ながらも絶対値は 0 になり、右極限値と左極限値は等しくなります。

ありがとうございました。

お礼日時：2008/11/14 13:09

No.12 回答者： masa2211 回答日時： 2008/11/14 01:54

う～ん、弱りましたねえ。

＞この説明に問題はありますか？
と聞くものだから、間違いが数あれど、もっともひどいと思われる
・証明についての認識が甘すぎる。
を、＃3で書いたつもりだったのですが。

※私のスタンスは、
0^0は未定義、lim(x=0)0^xはゼロ、lim(y=0)y^0は1。
この3つは明白に違います。そこは間違わないでください。
※※証明の認識が甘いのを最もひどいとしている理由：計算ミスはその場限りのミスで、証明の認識は数学全般のミス。
　　これは、個人の感覚なので、つっこんでほしくないです。
で、どういうところが甘いかというと、
＞a^(r+s)=a^r*a^s
＞これに、a=0,r=0,s=0 を入れると、a^r=0 or 1 であることが分かります。
さっそくダメ。
r=0,s=0を代入するなら、
0^0=0^0*0^0
これから0^0の値を計算しようとしているのに右辺にも左辺にも0^0を使ってどうするのですか？
しかも、右辺にも左辺にも、0^0以外の数値が現れていません。せめて、ゼロでも1でもいいから、違う数字を使ってください。
背理法なら、いずれ否定するのだからこういうのもアリですが、肯定するならこういうのはまずダメとしたもの。
ここはしぶしぶ認めるとして、
＞a=0,r=0,s=0 を入れると、a^r=0 or 1 であることが分かります。
そんなことわかりません。
a^r=0 or 1 or 未定義のいずれかです。未定義を落としてはダメです。証明が甘いです。

ですので、指数法則を使うのならこうやります。
＞a^(r+s)=a^r*a^s
＞これに、a=0,r=1,s=-1 を入れる。
0^0=0^1÷0^1＝0÷0　＝　未定義。
x^-1=1/x 0^1＝1　指数法則（ただし、0^0に限り例外）、ゼロ割り禁止　は、fusem23さんも認めていたはず。
これなら、証明済のことを用いてこれから証明しようとしていることを導くことになります。
すなわち、指数法則を認めれば、必然的に0^0は未定義となります。
未定義だと言いたくないなら、指数法則を認めないか、ゼロ割りを認めるか、そういうことをしてもらわないと。
つまり、指数法則が成立するためには、0^0が未定義であるのが必須条件です。


＃6
＞0^0がなぜ未定義なのかという理由
＞0^0 については、指数法則との関係が一切説明されていません。
？？？。 wikipediaの未定義の証明は、指数法則を使ったもの（私が上に書いたのと同じ）です。

＃６
＞「連続性が問題かな～」と説明されているくらいです。
連続関数に大いなる誤解があります。
0÷0はそのままでは未定義ですが、関数（連続関数のこと。）の中でたまたま0/0が出る場合、
極限をとることで未定義でなくある値に定まる場合があるためです。
たとえば、ｙ＝sin(x)/x で、x=0　の場合。　0/0ですが、極限をとることで答は1.
これを、「連続性はどうでもいい。ゼロのときは話は別」と言われてしまうと、微積分が成立しなくなります。

＃質問文
＞極限値lim[x→+0]0^x が何故 0 になるのか。
別に面倒なことはしません。
0^x は、ｘ≠0ならば、　0^x=0。　よって、極限の定義により、必然的に、lim[x→+0]0^x 。　証明終わり。
＞m∈N について、0^m=0
＞n∈N について、0^(1/n)=0
＞m,n∈N について、0^(m/n)=0
＞よって、x>0 ならば 0^x=0 なので、極限値も 0 になる、と思います。
わざわざｍとｎを持ち出して有理数限定で考える必要もないし、x>0 ならば　というマイナスを無視する理由もありません。
で、ｙ＾ｘは実数でも成立するのに、有理数にするとか、x>0という条件を持ち出すのですか？
持ち出すはいいけど、それを説明しないのは何故？　だから、証明が甘いと言っています。

で、連続性に戻りますが、
指数法則でダメだから極限で考える、というのが筋です。ここでも、fusem23さんは逆のことをやっています。
すると、
lim[x→0]0^x = 0 ゼロのナントカ乗はゼロだから。
lim[y→0]y^0 = 1 ナントカのナゼロ乗は1だから。
lim[x→0]を、＋0と-0に分ける必要もありません。どちらから近づいても同じだから。
で、関数は、別に連続性は無くてもいいけど、計算方法で答が変わるのは変、ですよね？
ですから、未定義にするしかないのです。　※これも、wikiに書いてあります。

そして、
0^0だと未定義なんだけど、関数の中で使われる場合なら、
lim[x→0]0^x 　　lim[y→0]y^0　　
これは、別モノとみなしてよい（ゼロへの近づき方が違う）から、
0^0は未定義、lim(x=0)0^xはゼロ、lim(y=0)y^0は1。　　というのは矛盾でないです。

クヌース大先生のいう0＾0=1の件。
アタリマエのことを書くけど、0^0が未定義と考えるしかないのは、クヌース先生は当然知っているはずです。
で、何故、0^0＝1を主張するか？
クヌース先生はコンピュータ工学の大家なので、コンピュータで計算させる場合に、0^0をどうするかを考えているのです。
数学で、ｘ＾ｙを考える場合、ｘとｙの使用頻度が違うからといってどっちかを優先するのはオカシイけど、
工学なら、使用頻度で決めることは別にオカシクありません。
ここでは、
lim[x→0]0^x = 0 　　lim[y→0]y^0 = 1　　の違いがモノを言います。

ですので、私は、こんなことを心配しています。
・加算と乗算は同じ演算である。
証明：0＋0＝0　0＊0＝0　2＋2＝4　2＊2＝4　　加算と乗算で同じ結果が得られた。証明終わり。
2＊3などでは成立しないのにそれでは都合が悪いからほっかむりしてるのは明らか、だよね？

これって、
＞a^(r+s)=a^r*a^s
＞これに、a=0,r=0,s=0 を入れると、a^r=0 or 1 であることが分かります。
は、というのと全く同じ論理構成です。

というのは、
＞a=0,r=-1,s=1　であっても、0^0を計算したことになる　というのをほっかむりているし、
そのことについて何も触れていないから。
しかも都合の悪いことに、
a=0,r=-2,s=2 (要するに、a=0,r=0以外の任意,s=-r)　なら、0^0=0/0＝未定義。
たまたま未定義にならない唯一のケースを持ち出して論じています。それがアリなら、反則何でもアリでしょう。
工学で意図的にこんなことやったら、データ捏造とみなされ、職業生命を絶たれますよ。

この回答へのお礼

＞a^r=0 or 1 or 未定義のいずれかです。未定義を落としてはダメです。

未定義を加えると、何か変わりますか？
二番目の式から求めた結果にも、未定義が加わりますか？

＞すなわち、指数法則を認めれば、必然的に0^0は未定義となります。

指数法則の適応には限界があります。
a^(r+s)=a^r*a^s ただし a≠0 or (r >= 0 and s >= 0)
この条件に当てはまらなければ、意味が不明となります。
＃0除算を許さないための条件です。

＞wikipediaの未定義の証明は、指数法則を使ったもの（私が上に書いたのと同じ）です。

未定義とは、矛盾が発生する場合と、すべての方法を試した上で定義できない場合を言います。
「定義されないことの説明」を言われていると思いますが、ここはべき乗の定義を拡張して説明しています。
この場合、一番目の指数法則を適応していることになります。
二番目の指数法則を適応していないのですから、まだ未定義とは言えません。

＞たとえば、ｙ＝sin(x)/x で、x=0　の場合。　0/0ですが、極限をとることで答は1.

これを認めたとしても、それは右極限値と左極限値が一致した場合まで。
0^x のように、それらが異なる場合はダメです。
＃0 と未定義が異なることは認めますよね？

＞0^x は、ｘ≠0ならば、　0^x=0。

これは、公理ですか？
私には、証明なしに使えるものとは思えませんが、そうでないと言うなら、出典を示してください。

＞lim[x→0]0^x = 0

これは、あなた独自の解釈です。lim[x→-0]0^x は未定義です。
0^(-1) も 0 と考えているのでしょうが、正しくは未定義です。
0 と未定義は違う意味ですから、区別してください。

＞0^0は未定義、lim(x=0)0^xはゼロ、lim(y=0)y^0は1。　　というのは矛盾でないです。

それが矛盾でないのを仮に認めたとして、だから 0^0=1 に矛盾があるとは言えません。

＞たまたま未定義にならない唯一のケースを持ち出して論じています。

未定義の否定に関する限り、これはありです。
0^2 を計算するのに、a=0,r=4,s=-2 が未定義になるからといって、未定義であるとは言わないでしょう？
それは a=0,r=1,s=1 で計算できるからです。
未定義の否定には、一つ以上の方法で計算できることを示せば十分です。

ありがとうございました。

お礼日時：2008/11/14 11:49