傾きが同じ？

二つの二次関数が接する点の傾き（接線？）は二つとも同じ。
なのはどういうことですか？

No.2 ベストアンサー 回答者： sanori 回答日時： 2008/11/20 22:50

こんばんは。

二つの二次関数が接する点の傾き（接線？）は二つとも同じ。
　＝　二つの二次関数が接する点の微分は二つとも同じ。

ですよね。
だけど、それだと納得できないわけですよね？

さて、
二次関数に限らないのですが、
２つの曲線が接するとき、あるいは、１つの曲線と１つの直線が接するとき、
接している部分は線の傾き同士が同じです。

逆に、そうでない場合を考えましょうか。
片方の曲線の傾きがｍ、
もう片方の曲線の傾きが－１／ｍ
という関係であるとき、両者の傾きは垂直（９０°）です。
傾きが垂直だったら十字に交わりますから、接するわけはないですよね？

９０°でなくても、０°以外の場合では、接することはできずに交わってしまうことについては、
紙に落書きして試してみてください。


以上、ご参考になりましたら。

No.4 回答者： darui4 回答日時： 2008/11/22 09:31

２つの二次関数であらわされる曲線を

y = f(x)
y = g(x)
とする。
これらはｘ＝αで接するものとする。
その条件は、
二次方程式f(x) - g(x) = 0について、重解αを持たなければ
ならない。よって、左辺はA(x-α)^2という形の式になる。
それで、f(x)-g(x) = A(x-α)^2であるから、
f(x) = g(x) + A(x-α)^2 = g(x) + Ax^2 -2αAx + Aα^2
f ' (x) = g ' (x) + 2Ax - 2αA = g '(x) + 2A(x-α)
f ' (α) = g ' (α) + 2A(α-α) = g '(α)
よって、２つの二次関数が互いに接するとき、その接点の傾き
は等しい。

No.3 回答者： Kules 回答日時： 2008/11/21 12:59

「接する」という現象は、

「２つの曲線(または直線)がどんどん近づいていって、共有点を持って、再び離れていく」時のことを言います。
つまり接する前後で、２つの関数ｆとｇの大小関係は一緒でなければなりません。
ここで、接線と言うのはその点から少しだけｘを進めた時にどのくらいｙが変化するか、ということを表しています。ようはある点aでの接線の傾きが１なら、そこから少しだけ(例えば0.001だけ)ｘを進めた時、ｙは大体0.001増えるということです。(接線の傾きが２なら0.002増えます)
これらのことをあわせて考えると、
グラフｆとｇで、共有点での接線の傾きが異なり、共有点より前の接線の傾きがｆの方がｇより小さくて、共有点より後のｆもｇより小さければ、ｆとｇはクロスすることになります。(グラフを描いて確かめてください)
共有点での接線の傾きが異なり、共有点より前の接線の傾きがｆの方がｇより小さくて、共有点より後のｆがｇより大きければグラフは交わりませんが、ｆはカクンとした(尖った)グラフになります。
よって、接するためには
共有点より前の接線の傾きがｆの方がｇより小さくて、共有点より後のｆがｇより大きく、なおかつ共有点での接線の傾きが等しい必要があります。

長文失礼しました。参考になれば幸いです。

No.1 回答者： kael_pyonpyoko 回答日時： 2008/11/20 22:43

微分してみればすぐわかります。