高校数学？における確率のときに議論の対象になる、「対等性」について教えてください

タイトルのままです。

解説に例題
「一辺１の立方体ABCD-EFGHkから相異なる３点を選び
それからなる三角形を作る。
互いに合同でない三角形は３つ作れるが、
それぞれになる確率を求めよ。(センター問題改）」
を使っていただければありがたいです。
大数の１対１を使っているのですが・・・

No.6 回答者： gef00675 回答日時： 2008/11/26 01:54

ご質問の問題に関連して、「ビュフォンの針」という有名なパラドックスを思い出しました。

根元事象のとらえかたがはっきりしなかったために、本職の数学者さんたちでさえ、いろんな答えを出してしまったという教訓です。

ご質問とよくにた問題をみつけました。
http://hasegawa.ac/utakata/12kakuritu.html
質問者さんのご参考になりましたら幸いです。

参考URL：http://hasegawa.ac/utakata/12kakuritu.html

No.5 回答者： jaspachate 回答日時： 2008/11/25 00:39

多分明らかになっていらっしゃるだろうとは思いますが、補足です。

三角形の全数は８個の頂点から３個の頂点を選ぶ組み合わせの数になっており、それぞれの組み合わせが選ばれるときの条件はなにもありません。

本来は問題文では「相異なる３点を無作為に選び」というように、条件付けが行われるべきです。そのようにしてはじめて３点の選び方の全てが「確率的に対等（均等）」であることが条件付けられます。

通常、複数個ある色の付いた玉や、文字の書いてある札を選ぶとき等の例のように、「無作為に選ぶ」という言葉を問題文に添えて、あるいは同等の言葉を添えることで、問題の前提を明らかにします。「サイコロを転がす」ときには、６つの面が「無作為」に選ばれることが前提になっており、親切な問題では「目の出方に偏りは無いものとする」という条件が書かれています。

ゆえに質問者様の問題文はそのような意味で条件不足という面があり、あえてどのような条件もはぶいたことは、暗に３頂点の選び方に偏りはない、ことを前提にしていると解釈されるのが自然です。なぜなら偏りの条件は作ろうと思えば多様であるのにあえて何も与えられていないからです。これは回答者の恣意性に任せるのではなく、全ての回答者にとって共通の了解事項となるべき一つの条件、「偏りがない」を暗に仮定しているととらえなさい、と言っていることと同等であり、それによって初めて問題文として意味を成すようになるわけです。
すなわち、No.1さんの回答が問題文の解釈に関して当を得ているわけです。

No.4 回答者： arrysthmia 回答日時： 2008/11/24 21:20

例題に、致命的な欠陥が：

その例題は、「相異なる３点を選び」の選び方が
どのようなものであるかについて記述が無ければ、
条件不足のため、問題が成立しない。
改題した際のミスなのだろうが、センター試験に
そんな無茶な出題が無かったことを祈るばかりだ。

質問の「対等性」が、もし「対称性」のことを言っている
のだとすれば、そこにも、この話の延長上の勘違いが：

立方体の対称性から、各頂点が選ばれる確率は等しいと
「推論」してしまったら、それは全く非論理的。
確率の計算をするときには、基本事象の確率については、
考察するのではなく、仮定して合意する必要がある。

サイコロを振って、各目の出る確率が 1/6 づつなのは、
サイコロが立方体であるからではなく、
各目が 1/6 づつ出るようなものを「正しい」サイコロと
定義しているからだ。単に、そう約束したということ。
この問題の「相異なる３点を選び」も、同様だ。

No.3 回答者： jaspachate 回答日時： 2008/11/24 16:46

＞．．．「対等性」を利用して、Ａ点からの２１通りについて考えられる

A点という頂点を固定し、他の７頂点から２個を選んで三角形を作る選び方は7C2 = 21 通りあり、重複しません。２１通りの選び方はすべて対等です。選び方には何の条件もありません。
上のように解答文にあるという「対等性」ですが、どのような意味でつかわれているのかは、上の切り取られた文章の一部からではわかりかねますが、もし３点の選び方それぞれが皆「対等」であるという意味以外で使われているのでしたら、解答文全体を見なければ読解も解説もできません。

No.2 回答者： jaspachate 回答日時： 2008/11/24 14:51

１．面内にできる直角二等辺三角形の数

各面内に４通り　×　６面　＝　２４個
２．立方体内部を通る対角線を含む三角形の数
対角線の両端点以外の頂点はすべてどちらかの端点に隣り合う（辺で結ばれる）。従って、
対角線４本　×　対角線の一方の端点と辺で結ばれる点３個　×　端点２個　＝　２４個
３．３辺が面内の対角線だけからなる三角形の数
ある１面を取り、その中に１つの対角線をとる。その対角線の両端点から別の面内に対角線を引いてできる三角形は２個。最初の１面の対角線は２本あるから合計２×２＝４個の三角形ができる。その４個の三角形の辺は最初の１面と隣り合う４つの面の対角線を全て含むので、使われていない対角線は、隣り合わない対面にある面内の対角線のみである。対面の対角線を使ってできる三角形も４個だから、全体で合計８個。

さて、１．、２．、３．、それぞれに含まれる三角形はそれぞれの中ではすべて合同である。また、１．、２．、３．は互いに合同でない。
全部で５６個の三角形ができるが、その一個一個が選ばれる確率は同等である。なぜなら三角形は８頂点のうち３点を選んで作られる（8C3=56）が、問題文ではその選び方には何の条件もつけていないからである。もし条件をつけるとすれば、三角形の面積で選ぶ確率が異なるとか、三辺の長さの合計で確率が異なる、などとしなければならないが、このように条件のつけかたは一通りではなく、問題文によって与えられていなければ決定できない。従って無条件に点の選ばれ方はすべて対等であるとするのが自然である。

以上から各合同な三角形の選ばれる確率は、
１．２４／５６　＝　３／７
２．２４／５６　＝　３／７
３．８／５６　＝　１／７

以上のような「対等性」の使い方だととらえましたが、いかがですか。

この回答への補足

解答ありがとうございます。
言い忘れていた私が悪いのですが、
解答では、「対等性」を利用して、Ａ点からの２１通りについて考えられる、と言った言及がありました。
その「対等性」は同様の概念ですか？

補足日時：2008/11/24 15:21

No.1 回答者： gef00675 回答日時： 2008/11/24 14:22

　古典的な確率は、起りうる事象を根元事象に分解し、それぞれの根元事象が起る確率が何々であると仮定して、それを基にして一般の事象が起る確率を導くものでした。

そのときに根元事象に等確率の原理を仮定することが多いのですが、ご質問の「対等性」とは、いかにして根元事象が等確率である仮定が正当化されるかということでしょうか。
　ご質問の例ですと、「相異なる３点を選び」という文言の中に、暗黙のうちに「相異なる３点を選ぶときに特定の３点が選ばれやすいということはない」ことが仮定されています。統計の言葉でいうと、無作為に選ぶということに当たります。（少なくとも学校数学ではそういうルールになっているようです。じゃんけんやルーレットや、赤玉白玉の入った袋という問題などはみなそうでした）
それが正当化される理由は
　　（１）立方体の頂点のどの点が選ばれるかは、まったく任意であり、
　　（２）問題の対称性から、　（立方体の対称性）
　　（３）どの点も、他の点よりも優位に選ばれなければならない理由がなく、
　　（４）したがって、どの点も同じ確率で選ばれると考えざるをえない。
ということでしょう。等確率の仮定というのは、積極的に「等確率であるべき」と主張しているのではなく、「これだけしか情報がない以上、等確率と仮定するのが、最も公平かつ中立的であり、誰にでも受け入れられるだろう」という消極的な理由によっています。