四面体の重心と外心

まず、条件として・・・
(1)四面体ABCDがありこの４頂点が点Oを中心とする球面上にある。
OAベクトルなどをa＾などとあらわすとして
(2)a＾＋b＾＋ｃ＾＋ｄ＾＝0が成り立ってる。
(3)AB⊥CD　AD⊥BCが成り立っている。

ここで質問なんですが、この四面体が正四面体であることを示すとき
(2)から点Oは四面体の重心であり
外心と重心が一致するから正四面体である。
みたいな証明は成り立つのでしょうか？
試験で書いたらダメだったので問題点を指摘していただけるとありがたいです。

No.3 回答者： gef00675 回答日時： 2008/12/16 09:43

＃１補足

安易な思い込みは禁物です。
あなたのいう「外心」と「重心」が一致するような四面体は、正四面体だけとは限りません。
例：(1,2,-1),(-1,-2,-1),(1,2,1),(-1,-2,1)を頂点とする四面体は、(1),(2)を満たすが、正四面体ではない。

(3)の条件はa＋ｂ＝0より、もっと強いことを主張しています。

解答としては、
a*a=b*b=c*c=d*d（*は内積）
a+b+c+d=0,
(a-c)*(b-d)=0, (a-d)*(b-c)=0 から、
二辺の長さの２乗の差が
(a-c)*(a-c)-(b-c)*(b-c)=2b*(a-c)=0
(∵(a-c)*(b-d)=(a-c)*(a+c+2b)=a*a-c*c+2b*(a-c)=2b*(a-c)=0) )
のような計算をすれば簡単ですが、この式変形だけでは幾何学的イメージはわきません。
「重心から等距離にある４点が、垂直の条件(3)を満たすとき、正四面体になる」という事実は知っておくとよいです。が、問題はそれを証明せよ、といっていますから、そのことを答案に書くだけではだめです。定理というのは、それが述べている内容だけでなく、どのように証明されるかを理解することが、むしろその証明のほうが重要です。

この回答へのお礼

あ、ほんとですね。
やはり定理や公式は自分で証明できて使いこなせるようにすることが大切ですね。
丁寧な説明ありがとうございました。

お礼日時：2008/12/16 23:01

No.2 回答者： Lokapala 回答日時： 2008/12/15 14:21

まず、重心と外心が定義されていないです。

高校生の方だと思うのですが、高校の数学の範囲で定義されているのは三角形の重心と三角形の外心のみだったと思います。なので、この時点でアウトです。

また、数学の問題を解く上で、使っていいのは既に証明されている定理、自明なこと、定義されていることです。仮にあなたが重心と外心を定義していたとして、重心とが威信が一致していたら正四面体になることは証明されていないことでしょう。もし、この方法で証明しようと思ったら一般的な四面体において、あなたの考える重心と外心が一致したら必ずその四面体が正四面体となることを最初に証明しなければいけません。

あとちょっとした疑問ですが、ＡＢ⊥ＣＤ っていいんですかね。ＡＢとＣＤはねじれの位置にあるんじゃないかと思うのですが。（こちらの勘違いならいいんですが。）

この回答へのお礼

ありがとうございます。
ちなみに僕は大学に進学したのですが今再受験をしようと受験勉強中です。
一般に正四面体の重心と外心は一致する
というのを受験の問題集でみた記憶があったので定理的に使えるものだと思っていたのですが、高校の範囲では定義されていないのですか・・・。

確か、ねじれの位置でも垂直は言えると思いますよ。

お礼日時：2008/12/16 00:19

No.1 回答者： gef00675 回答日時： 2008/12/15 12:37

あなたは

＞　４頂点が点Oを中心とする球面上にある。
という条件を、原点＝「外心」という言葉でとらえようとして、

＞　(2)a＾＋b＾＋ｃ＾＋ｄ＾＝0が成り立ってる。
の条件を、原点＝「重心」という言葉でとらえようとしたのですね。

そういう考え方は、問題文の状況を把握するために悪くはない。悪くはないが、他の人から反論できないような説明（＝証明）にもっていけるかがポイントです。
　あなたのいうように「重心」と「外心」を定義してみましょう。（定義するだけなら自由です。たとえどんなに常識はずれの定義をしても、数学の中ではだれも文句をつけられません）
　そのとき、(3)の条件から、「重心」＝「外心」となっていることが、本当に言えるのか？
　そして、あなたのいう「外心」と「重心」が一致するものは、本当に正四面体だけなのか？

この２点が、説明できていないと、正しい証明とはいえません。単なるあてずっぽうとみなされてしまいます。

普通、こういう問題では、形式的な計算をしただけで「証明した」つもりになっている高校生が多い中で、あなたのように問題の状況を把握しようとする姿勢はとても大切です。がんばってください。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
実は、
一般に、正四面体の重心と外心は一致する
みたいなことを問題集か何かでみた記憶があり、定理的に用いれるものだと思って模試で書いてみたというのが実情です。
確か四面体において一つの頂点からそれぞれの向かい合う三角形の重心におろした直線の交点が四面体の重心で各頂点への距離が等しい点が外心だと思って書きました。また(3)の条件から(2)でa＾＋ｂ＾＝0などの位置関係に各点がなりえないと思って書きました。

お礼日時：2008/12/16 00:05