積分です

∫tan^4xdx
の解き方をおしえてください。
∫sin^nxdxと∫cos^nxdxは公式があるのでそれで解けるのですがtanはどうしたらいいんですか。

No.1 回答者： owata-www 回答日時： 2009/01/19 18:47

∫tan^4xdx

=∫tan^2x*tan^2xdx
=∫tan^2x(1-1/cos^2x)dx
=∫tan^2x - tan^2x/cos^2xdx
=∫(1-1/cos^2x) - tan^2x(tanx)'dx
…
後はご自分で

No.2 回答者： info22 回答日時： 2009/01/19 18:49

ヒント）

(tan^4x)-1+1=(tan^2+1)(tan^2-1)+1
=sec^2x(tan^2-1)+1
=(tanx)'*(tan^2-1)+x'
これを積分に直すだけです。

分からなければ補足で自力解答を書いて質問して下さい。

No.3 回答者： owata-www 回答日時： 2009/01/19 18:55

逆でした (苦笑

tan^2x = cos^2x -1
適当に直しておいてください

この回答へのお礼

いつもありがとうございます。
とても助かっています。

お礼日時：2009/01/20 00:11

No.4 回答者： Tacosan 回答日時： 2009/01/19 18:55

(d/dx)tan x = sec^2 x = 1 + tan^2 x.

No.5 回答者： info22 回答日時： 2009/01/19 19:03

#2です。

入力ミスの訂正
>=sec^2x(tan^2-1)+1
=sec^2x(tan^2 x -1)+1
>=(tanx)'*(tan^2-1)+x'
=(tanx)'*(tan^2 x -1)+x'
xが抜けました。
∫tan^4x dx=∫{(tanx)'*(tan^2 x)dx -tanx +x +C
=
後はどうぞ。

この回答へのお礼

ありがとうございました

お礼日時：2009/01/20 00:10

No.6 回答者： arrysthmia 回答日時： 2009/01/19 20:12

困ったら、とりあえず、

t = tan(x/2) で置換積分してみる。

tan の倍角公式と
dt/dx = (1/2) sec^2 (x/2) = (1 + t^2) /2
を使って、
t の分数式の積分になる。

「部分分数分解」は、知ってる？

この回答へのお礼

部分分数分解知ってます！
できました！！
ありがとうございました。

お礼日時：2009/01/20 00:09