近似値

log2の近似値を求めよ。
で、やり方がわからないので教えてください。

No.1 回答者： owata-www 回答日時： 2009/01/25 17:59

テイラー展開

log(1+x)=x-1/2x^2+1/3x^3-1/4x^4…　に代入するのがいいかと

No.2 回答者： htms42 回答日時： 2009/01/25 22:43

多分ｌｏｇ２の底は１０だろうと思います。

関数電卓でもとめると
ｌｏｇ２＝０．３０１０２９９９５７
という値です。
「近似値を求める」を「この値を普通の電卓で求める」という意味だとします。

方針は２^nを１０^mで近似するというものです。
ｘ＝ｌｏｇ２とします。
１番荒いのでやってみます。
２^3＝８＜１０　　３ｘ＜１　　ｘ＜１／３
２^10＝１０２４＞１０^3　１０ｘ＞３　　ｘ＞０．３　
０．３＜ｘ＜０．３３３３・・・
これで少数点下第1位の数字が３であると求められました。
この２つを組み合わせると近似を上げることが出来ます。

２^13＝８×１０２４＝８×１．０２４×１０^3＜１０^4
１３ｘ＜４、　ｘ＜４／１３＝０．３０７６９・・・

２^23＝８×１．０２４×１．０２４×１０^6＜１０^7
２３ｘ＜７　　ｘ＜７／２３＝０．３０４３・・・

２^33＜１０^10
２^43＜１０^13
・
・
・
２^93＜１０^28
２^103＞１０^31
これより
３１／１０３＜ｘ＜２８／９３
０．３００９７０８＜ｘ＜０．３０１０７５
ｘ≒０．３０１０・・・
は言えそうですね。

電卓で３×４＝１２と出して＝のキーを押していくと
３^(n)×４の計算が次々出てきますので頭の数字が８から始まって９になり１０と変わるところを探せば上の計算は出来ます。

ｌｏｇ(１＋ｘ)＝ｘ－(1/2)ｘ^2＋・・・
は自然対数についてのものですから底の変換が必要です。
これは普通の電卓ではできません。
またｘ＜＜１の場合でないと収束が悪すぎて使えません。

No.3 回答者： owata-www 回答日時： 2009/01/25 23:01

＃１ですが、＃２さんの回答を見てなるほど　と思いました

というわけで私の回答は撤回して置いてください

No.4 回答者： arrysthmia 回答日時： 2009/01/26 00:27

使えますよ、テーラー展開。

log 2 = - log(1 - 1/2) から、No.1 の式に x = -1/2 を代入すると、
４桁程度の精度なら、７～８項のΣで十分です。
これなら、電卓を使わず、手計算でもできますね。

底の変換をするには、
No.1 の式に x = -1/5 を代入して log(4/5) を求め、
log[10] 2 = (log 2) / (log 10) = (log 2) / { 3 (log 2) - log(4/5) }
とすればよい。

No.5 回答者： htms42 回答日時： 2009/01/26 09:37

＃２です。

＃４様のご回答を見て底の変換のやり方がわかりました。
これでテーラー展開を使うことが出来ます。

それならということでΣの項数を減らすことを考えました。
ｘ＝１／２では収束が悪いです。
２^10＝１０２４ですからΣの１０項目、(1/10)ｘ^10での計算で小数点下第４位です。この桁までの数値を求めるのであれば少なくとも後３項は増やさなければいけないでしょう。

必要なのはｌｏｇ２とｌｏｇ５です（最終的にはｌｏｇ２とｌｏｇ１０です）。テーラー展開式を使うのですからですからついでにｌｏｇ３も求めてしまうと計算の項数を減らすことが出来ます。
（＃４のご回答に合わせてｌｏｇは自然対数とします。）

ａ＝ｌｏｇ(１－1/１０)＝ｌｏｇ(９/１０)＝２ｌｏｇ３－ｌｏｇ２-ｌｏｇ５
ｂ＝ｌｏｇ(１－1/９)＝ｌｏｇ(８/９)＝３ｌｏｇ２－２ｌｏｇ３
ｃ＝ｌｏｇ(１－１/６)＝ｌｏｇ(５/６)＝ｌｏｇ５－ｌｏｇ２－ｌｏｇ３

ａ、ｂ、ｃを求めるとｌｏｇ２，ｌｏｇ３，ｌｏｇ５は求められます。
ｌｏｇ２＝－（２ａ＋ｂ＋２ｃ）
ｌｏｇ５＝２ｌｏｇ２－（ａ＋ｂ）
ｌｏｇ３＝２ｌｏｇ２＋（ａ＋ｃ）

ａ、ｂ、ｃの収束はかなり速い（Σは４～５項で十分でしょう）です。
でもやはり手計算では面倒です（電卓でも結構面倒です）。しかしｌｏｇ２，ｌｏｇ３，ｌｏｇ５と一度に求まってしまうということころはメリットです。

ｄ＝ｌｏｇ(１－１/５)＝ｌｏｇ(４/５)＝２ｌｏｇ２－ｌｏｇ５
＃４ではこの値を求めています。ｄ＝ａ＋ｂですからａ，ｂを使うときはｄを使うことは出来ません。

No.6 回答者： proto 回答日時： 2009/01/26 12:44

収束の早さの話になっていますが、早さを気にするならlog(1+x)の展開を使うよりlog((1+x)/(1-x))の展開を使う方が便利です。

　　log(1+x) = Σ[i=1～∞]{((-1)^(i+1))*(x^i)/i}
　　log(1-x) = -Σ[i=1～∞]{(x^i)/i}
より
　　log((1+x)/(1-x)) = log(1+x) - log(1-x)
　　　　 = (1/2)*Σ[i=0～∞]{(x^(2i+1))/(2i+1)}

log(2)であれば、(1+x)/(1-x)=2よりx=1/3を代入します。
この方法ならばlog(2)やlog(3)等もちゃんと収束域に含まれますし、奇数項しか現れないので計算回数が少なくて済みます。

No.7 回答者： htms42 回答日時： 2009/01/26 14:31

＃２、＃５です。

＃４のご解答を参考にさせていただいて＃５を書きました。
でも中途半端でした。
ｌｏｇ２，ｌｏｇ３，ｌｏｇ５、・・・を個別に求めるのではなくて一緒に求めるという立場であればもっと効率のよいテーラー展開を考えることは難しくありません。＃５はちょっと工夫が足りませんでした。どこかにまだ２とか３にこだわりがあったような気がします。
ｘが小さければｌｏｇ(１＋ｘ)の収束が速いのですからそういう数字を探せばいいのです。＃５と違う数字で考えます。

ａ＝ｌｏｇ(９／１０)＝ｌｏｇ(１－１/１０)
ｂ＝ｌｏｇ(２４／２５)＝ｌｏｇ(１－１/２５)
ｃ＝ｌｏｇ(８０／８１)＝ｌｏｇ(１－１/８１)
ａの場合で４項、ｂで３項、ｃで２項で済みます。
ｌｏｇ７の値もほしい場合は
ｄ＝ｌｏｇ（５０／４９）
を入れればいいでしょう。
ｌｏｇ１１は、とかｌｏｇ１３は、とか増やしていく時も考え方が簡単です。