A 回答 (4件)
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No.4
- 回答日時:
asa_dさん、こんにちは。
みなさん、とてもいい回答が出ているのですが・・
>次の2直線を含む平面の方程式は?
x-1 y+2 z+3
--- = --- = ---
3 4 -5
x+1 y z-1
--- = --- = ---
3 4 -5
今、求める平面の方程式を、
ax+by+cz+d=0
とおくことにします。
この平面の、法線ベクトル(平面に垂直なベクトル)は(a,b,c)ですね。
さて、二つの直線の方向ベクトル(3,4,-5)は、この平面上にありますから、
上の(a,b,c)とは垂直なはずですね。
したがって、内積をとれば、
3a+4b-5c=0・・・・(☆)
また、直線の方程式を見てみれば、
上の直線には、点(1,-2,-3)が
下の直線には、点(-1,0,1)が含まれていることが分かると思います。
さて、ここで、これらの2点を結ぶ直線も、平面上にあることに着目しましょう。
これらの2点を結んで出来るベクトルは(2,-2,-4)
つまり、その直線は、方向ベクトルが(1,-1,-2)であることがいえます。
この方向ベクトルと、(a,b,c)もまた、垂直ですから、内積をとれば
a-b-2c=0・・・・・(★)
(☆)と(★)から、a,bをcだけで表すと、
a=13/7c,b=-1/7c となります。
したがって、ベクトル(a,b,c)=(13/7c,-1/7c/c)
(13,1,7)がこの平面の法線ベクトルになることがいえました。
ここで、点(-1,0,1)は、この平面上にありましたから、
13x+y-7z+d=0に、x=-1、y=0、z=1を代入すれば、d=6
したがって、平面の方程式が13x - y + 7z=-6 だと求まりました。
ご参考になればうれしいです。
No.3
- 回答日時:
【問題】
次の二つの直線を含む平面の方程式を求めよ。
(x-1)/3=(y+2)/4=(z+3)/(-5)
(x+1)/3=y/4=(z-1)/(-5)
【解答】
求めるべき平面は、二つの直線の方向ベクトル
(3,4,-5)
を含む。また、二つの直線は、それぞれ、
P(1,-2,-3), Q(-1,0,1)
を通るので、求めるべき平面は、→PQを含む。
→PQ=→OQ-→OP
=(-1,0,1)-(1,-2,-3)
=(-2,2-,4)
=2(-1,1,2)
ゆえに、求めるべき平面は、
(x,y,z)=s(3,4,-5)+t(-1,1,2)+(1,-2,-3)
と表される。
x=3s-t+1 …(1)
y=4s+t-2 …(2)
z=-5s+2t-3 …(3)
(1)+(2)より、
x+y=7s-1 …(4)
(2)×2-(3)より、
2y-z=13s-1 …(5)
(4)×13-(5)×7より、
13x-y+7z=-6 …(Ans.)
No.2
- 回答日時:
まず、平面の法線ベクトルを求めます。
そのためには、その平面に含まれる(=その平面と平行な)ベクトルを2つ見つければOKです。
今、2直線の方向ベクトルは平面に含まれているはずなので、とりあえず(3,4,-5)はすぐに見つかりました。もう一つ必要ですが、2直線のそれぞれの上にある点(1,-2,-3)と点(-1,0,1)を結んだベクトル(2,-2,-4)も求めたい平面に含まれているはずです。
よって、2つのベクトル(3,4,-5)と(2,-2,-4)の双方に直交するベクトルを求めれば、それが平面の法線ベクトルとなります。これを求めると、(13,-1,7)となりますので、あとは、求めたい平面上にあるはずの点(1,-2,-3)から、平面の方程式は、13(x-1)-(y+2)+7(z+3)=0となり、変形すれば、13x-y+7z=-6となります。
No.1
- 回答日時:
解答はいくつかの方法があります。
似たりよったりですけどね。まず2直線は平行だから両方の直線を含む平面が存在するわけです。
解答1
通る点を3つ決めます。同じ直線から3つ選ばないように、両方から
選びましょう。例えば
(1,-2,-3),(4,2,-8),(-1,0,1)
これを平面の式
ax+by+c+d=0
に代入してa,b,c,d関係式を作って、a,b,c,dの比を求めます。
もう少し要領よくやるなら、
a(x-1)+b(y+2)+c(z+3)=0 (これは(1,-2,-3)を通ります。)
と置くと1文字少なくてすみます。(後2つ代入してみればよい)
解答2
2つの点を取ります。
もう1つの式は方向ベクトル(3,4,-5)と平面の法線ベクトル(a,b,c)
が垂直だから
3a+4b-5c=0
これで解答1と同じになります。
以下、途中の計算は省略しますが、もし分からなければもう一度
書き込んでください。
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