線型代数・一次変換

一次変換に関する問題でわからないものがあるのでよろしければ教えてください。

1.線型空間Vの基底をB={v1,v2,b3}とするとき、
T(v1)=v2,T(v2)=v3,T(v3)=v4,T(v4)=v1
を満たすV上の一次変換Tに関する行列を求めよ。

2.T(a0+a1*x) = a0 + a1*(x + 1)
によって一次変換T:P1→P1を定義し、
B={6+3x, 10+2x}に関するTの行列[T]Bと、B'={2,3+2x}に関するTに関するTの行列[T]B'を求めよ。
（P1:次数1以下の多項式全体を作る線型空間）

どうしてもわかりません。
もしよろしければ詳しく教えて頂けるとありがたいです。

No.2 ベストアンサー 回答者： Tacosan 回答日時： 2009/02/01 22:34

基底 B = { v1, v2, ..., vn } に関する線形変換 T の表現行列を求める方法はいくつかあるんだけど,

全ての基底ベクトルを T で変換し得られたベクトルを再度 v1, v2, ..., vn で表す.
T(vi) = a1i v1 + a2i v2 + ... + ani vn
となったらこの係数ベクトルを i列目にする
という方法があります. これに従えば 2 の方は簡単でしょう. まさに「そのまま」だし.
で 1 の方を考えてみたんだけど, 少なくとも 2通りはできます. まず確認だけど, 「T の基底 B に関する行列」を求めるんだよね?
v4 は「ある適切なベクトル」です. なので, 基底 v1, v2, v3 の線形結合で表すことができます. そこで, v4 = a v1 + b v2 + c v3 とおいて変換したときに v1 になるように a, b, c を決めれば, 上に書いたことから変換行列が決まります. ただし, 条件から A 自身と A^2 はスカラ行列 (単位行列のスカラ倍) ではないということを入れる必要があります.
というのが 1つの方法. 「計算力はないけど知識はある」人には次の方法をどうぞ.
まず明らかに v4 は v1, v2, v3 のいずれでもありません. そして, 変換行列を A, 単位行列を E とおくと変換に関する条件から A^4 = E です. つまり A^4-E = O ですが, ケーリー=ハミルトンの定理を使うと「A の固有方程式は λ^4-1 を割り切る」ことがわかります. これと A^2 がスカラ行列にならないことから, A が実行列なら固有多項式は (λ-1)(λ^2+1) と (λ+1)(λ^2+1) のどちらか. さらに, A の形が特殊であることを使うと, 固有多項式を展開すれば A が求まります.

この回答へのお礼

丁寧な回答ありがとうございました！
とりあえず、なんとか理解することはできました。
1は解答がないので確認しようがないのですが、おそらくできたと思います。
ありがとうございました。

お礼日時：2009/02/05 22:08

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2009/01/31 02:20

1. v4 って何?

2. 表現行列の求め方くらい, 教科書でも見れば書いてあると思うよ. ちゃんと探しましょう.

この回答へのお礼

1.私もそれがわからないから質問させていただいたのですが。問題文見てもどこ見ても何も書いていません。
2.相当探して相当考えてそれでもわからなかったので質問させていただきました。頭悪くてごめんなさい。他にも表現行列を求める問題はあったのですがこれだけできません。


訂正
1.の1行目、基底Bの3つめはb3ではなくv3でした。タイプミスですごめんなさい。

お礼日時：2009/01/31 11:15