標準偏差が小さすぎると何が問題？

受験業界には「標準偏差」という言葉があるそうです。

標準偏差は，その値が大きいと成績の分散度が大きく，その逆は逆だそうです。

学校（教員）が見た場合，自校の生徒＝受験者の分散度合いは小さいほうがよさそうに思えるのですが（理解が生徒に均一に浸透している証），小さすぎると何が問題として挙げられるのでしょうか？

No.5 ベストアンサー 回答者： stomachman 回答日時： 2009/03/22 12:45

　どうやら、ANo.4は的を外してるようです。

「標準偏差が小さい」というのは学力の分布のことではなくて、専ら試験の性能に関するご質問なのですね？

　平均点が高いということは試験が易しすぎるということ。平均点が低いということは試験が難しすぎるということ。これはま、誰でも分かってる話です。

　さて、標準偏差がやたら小さい試験は、易しすぎる問題と難しすぎる問題だけでできている（問1.1+1=?　問２．フェルマーの最終定理を証明せよ）に違いありません。実力の違いを測っていない試験だということであり、標準偏差が小さいのは適切な試験ではない。
　じゃあ、標準偏差が大きければいいのか。問題数が少なくて、しかも運に頼るしかないような試験(問１．コインをトスして表か裏かを選べ。どっちかが正解である。）であっても、標準偏差が大きくなります。たとえば、運に頼るしかない2択問題を10個並べれば、成績は平均が50点、標準偏差が15点ぐらいの正規分布になります（大数の法則）。
　なので、成績の分布が綺麗だからと言って、それだけじゃ試験が妥当な（実力を測っている）ものだとは言えない。

　結果を使って受験者を分別する側からすれば、リクツの上では、得点の分布が一様分布になるのが理想的（最も分解能が高い）と言えましょう。さらに得点が学力を反映していることが望ましい。
　すると、各受験者の「学力」が1個の数値xで代表できるようなものであると仮定すれば（データを見ると、この仮定は残念ながらかなり真実に近いのですが）、xの分布を一様分布に写像するような試験が理想的ということです。そういう試験は
(1) 運で答を当てるということは滅多にできず（選択式の問題でこれを実現するには、同じレベルの問題をいくつも並べておけば良いのです）、
(2) 問題数はとても多く、
(3) ごく易しい問題からかなり難しい問題まで揃っていて、
(4) うんと難しい問題や、うんと易しい問題に比べ、中間の難しさの問題の個数が多い。
(5) 試験時間は十分に余裕があって、早く解けるかどうかは成績にあまり関係ない。
という特徴を持つでしょう。

この回答へのお礼

> そういう試験は
> (1) 運で答を当てるということは滅多にできず（選択式の問題でこれを実現するには、同じレベルの問題をいくつも並べておけば良いのです）、
>(2) 問題数はとても多く、
>(3) ごく易しい問題からかなり難しい問題まで揃っていて、
>(4) うんと難しい問題や、うんと易しい問題に比べ、中間の難しさの問題の個数が多い。
>(5) 試験時間は十分に余裕があって、早く解けるかどうかは成績にあまり関係ない。
>という特徴を持つでしょう。


ありがとうございます。じつによくわかるご説明です。

真面目に申し上げますが，あなたは天才です。
これからも僕の質問に答えてください。

お礼日時：2009/03/23 00:53

No.4 回答者： stomachman 回答日時： 2009/03/19 12:58

教師は楽ちんに違いない。

しかし、全員がソコソコの優等生であっても、あるいは全員がドン底の劣等生であっても、いずれにせよ周囲を見渡せば自分と同レベルの奴ばっかり、という環境で学ぶ生徒は、向上心を保ちにくいのではないかなあ。彼らは卒業してからカルチャーショックを受けるだろうね。

No.3 回答者： felicior 回答日時： 2009/03/19 02:13

標準偏差は「平均点から見て」どれくらいのばらつきがあるかを示す値です。

ですから標準偏差という言葉は平均点と共に語られるべきだと思います。

教える側から見た場合、標準偏差が小さくても平均点が低ければ意味がありません。
例えば全員が80点を取っても、全員が20点を取っても、標準偏差は同じくゼロです。
ですから、標準偏差だけで議論するとおかしなことになります。

平均点が同じなら標準偏差の違いがどうなるかを極端な例で考えてみます。
クラスの半数が40点で残り半数が60点の場合平均点は50点ですが、平均点の上下10点
ずつばらつきがあるので標準偏差は10点です。一方、
半数が20点で残り半数が80点でも平均点は変わらず50点ですが、標準偏差は30点です。
つまり標準偏差が小さいと低得点者は減りますが同時に高得点者も減ってしまいます。
この場合どちらがより望ましいかは一概に言えませんね。

今度は、クラス半数が(やる気がなくて)必ず20点を取る場合を考えてみます。
残り半数が60点を取れば平均40標準偏差20ですが、残り半数が80点を取れば平均50
標準偏差30です。このような状況では明らかに後者が望ましいですから、標準偏差は
大きい方が良いと言うこともできてしまいます。
(そもそも二極化している時点で問題ですけどあくまで極端な例です。)

以上は教える側から見た話ですが、標準偏差は「試験問題」自体の善し悪しを判断
する材料にもなります。差が付かないと合否が判定できないのは当然ですね。

いずれにせよ数値だけでわかることには限界があります。同じ点数でも違うところで
間違えていれば理解が均等に浸透しているとは判断できないと思います。
上の例も踏まえてもう一度お考えになってください。

この回答への補足

>標準偏差は「平均点から見て」
>どれくらいのばらつきがあるかを示す値です。
>ですから標準偏差という言葉は平均点と共に
>語られるべきだと思います。

仰るとおりです。(^O^)」


>今度は、クラス半数が(やる気がなくて)
>必ず20点を取る場合を考えてみます。
>残り半数が60点を取れば平均40標準偏差20ですが、
>残り半数が80点を取れば平均50
>標準偏差30です。このような状況では
>明らかに後者が望ましいですから、
>標準偏差は大きい方が良いと言うこともできてしまいます。


では，平均点と標準偏差値の関係に理想的な係数などがあるのでしょうか？

例えば，平均点が70点ならば，標準偏差が15だと被験者の試験弁別結果としては理想的な分布にある，というような。


もう一つお教え願えれば幸いです。<(_　_)>

補足日時：2009/03/21 17:57

No.2 回答者： nazunazu 回答日時： 2009/03/19 01:27

学校での試験の結果がそうだった場合、試験問題の難易度が適切でないため本来あるはずの生徒間の実力の差が見えないという問題があると思います。

生徒の実力が均一である場合、生徒を管理するのは楽でしょうが「あの高校に入学すれば○○大学にしか入れない」という悪評がたつ恐れが考えられます。全員がそこそこの大学に合格するレベルであるよりも、どこの大学にも合格できない生徒がいる反面、難関大学に合格できる生徒もいた方が高校の評価はなぜか高くなると思われます。

この回答へのお礼

>全員がそこそこの大学に合格するレベルであるよりも、
>どこの大学にも合格できない生徒がいる反面、
>難関大学に合格できる生徒もいた方が高校の評価は
>なぜか高くなると思われます。

目が覚めるような視角でした！

寝ぼけた僕をおこしてくださってありがとうございます。

お礼日時：2009/03/21 17:57

No.1 回答者： MtGenkotsu 回答日時： 2009/03/19 00:20

受験というのは生徒をふるいに掛ける事なので、デキル生徒は高得点で出来ない生徒は低得点に別れる方が望ましいのです。

差が小さいと、何らかの偶然でデキル生徒が点を取れなかったり、出来ない生徒がマグレで高得点を取ったり、正確なふるい分けが出来ません。