2進法と10進法について

10進法で表された数字を2進法に変換する場合、2で割って余りを並べるというの方法が一般的に知られていますが、何故そうなっているんでしょうか？これを数学的に理由を述べられる方はいらっしゃいませんか？ネットを使って調べてみても満足のいく答えが見つかりません。もし知っている方がいましたら、教えて下さい。宜しくお願いします。
以下のサイトから、「重み」というものを使って、10進法でこうだから、2進法でもこうなる、という理屈はわかるのですが、どうも釈然としません。
宜しくお願いします。
http://itpro.nikkeibp.co.jp/members/ITPro/ITBASI …

No.8 回答者： Tacosan 回答日時： 2009/04/30 12:05

「どこがどう釈然としないのか」を書いた方がいいと思うな....

No.7 回答者： mindassass 回答日時： 2009/04/30 11:12

失礼しました

誤字があります。
べき乗の３は２です。

No.6 回答者： mindassass 回答日時： 2009/04/30 11:11

ｎ進数に変換する場合

元の数からｎ＾∞～ｎ＾０までを引いた答えを
左から並べればいいですよね？
どうも釈然となしない明確な理由がいないとこれ以上は答えられないでしょう。
ｎ進数の桁という考えを単位接頭語みたいな考え方に変えてみては？
１０進数の３２１ならば
３×１０＾３＋２×１０＾１＋１×１０＾０
１６進数の３２１を１０進にするならば
３×１６＾３＋２×１６＾１＋１×１６＾０

No.5 回答者： htms42 回答日時： 2009/04/30 10:05

大きい塊を取り除いて余りからまた小さい塊を取り除いていくというのは１０進法でも同じです。

２進法だけのことと考えているので分からなくなっているのではないですか。
１、１０、１００、１０００、・・・という塊で考えるか
１、２、４、８、１６、・・・という塊で考えるか
１、３、９、２７、８１、・・・という塊で考えるか
・・・・

No.4 回答者： banakona 回答日時： 2009/04/30 06:25

２進法の各桁が、下から１，２，４，８、・・・の位となっているのは納得ずみとします。

ある数Ｐが２進法でａｂｃｄと表せたとしましょう。ａ，ｂ，ｃ，ｄはいずれも０か１です。

ｄの求め方：ａ，ｂ，ｃはそれぞれ８，４，２の位なので、いずれも２で割り切れます。ちょっと変ですが、
　　Ｐ＝２×（ａｂｃ）＋ｄ
と表せます。だからｄはＰを２で割った余りとなります。

ｃの求め方：上で出てきたａｂｃは、Ｐを２で割ったものの小数以下を切り捨てたものです。このａｂｃ自体を２進法とみなすことができます。これが分かりにくければ、十進法で１２３４５を１０で割って小数以下を切り捨てたものである１２３４も十進法になっている（８進法や１６進法になっていない）とみなせるのと同じです。だからｃを求めるには、ａｂｃについて、「ｄの求め方」と同じことをすればいいことになります。

以下、ｂやａも同様に求めることができます。

以上から、次々に２で割ってその余りを並べていけば２進法になります。（同様にして、任意のｎ進法に変換することもできます）

No.3 回答者： hugen 回答日時： 2009/04/30 05:31

□□□　□□□□□□□□　□□□□□□□□□□□□

□□□□□□□□□　□□□□□□□□□□□□□　□□□□□□□□□□□□□□□□□□□
□□□□□□□□□□□□□　□□□□□□□□□□□□□□□□□□□
□□□□□□□□□□□□□□　□□□□□□□　□□□□□□□□□□□
□□□□□□□□　・・・・・・・・・・・
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上のタイルを数えよう。
十づつまとめると
□□□□□□□□□□
□□□□□□□□□□
□□□□□□□□□□
□□□□□□□□□□
□□□□□□□□□□
□□□□□□□□□□
・
・
□□□□□□□□□□
□□□□　→　４　イチの位
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じゅう　づつまとめた物をさらに　じゅう　づつまとめて
□□□□□□□□□□
□□□□□□□□□□
□□□□□□□□□□
□□□□□□□□□□
□□□□□□□□□□
□□□□□□□□□□
□□□□□□□□□□
□□□□□□□□□□
□□□□□□□□□□
□□□□□□□□□□
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□□□□□□□□□□
□□□□□□□□□□
□□□□□□□□□□
３余ったとすると、十の位は　　３
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じゅう　づつまとめた物をさらに　じゅう　づつまとめて
２余ったとすると、次の位は　　２
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
じゅう　づつまとめた物が５個しかなかったら　　　最期の位は　　５
ーーーーーーーーーーーー
タイルの数は、　　５２３４

２個づつまとめて行くのが、2進法

No.2 回答者： sanori 回答日時： 2009/04/30 02:32

こんばんは。

十進法の４１は、
４１　＝　３２　＋　０　＋　８　＋　０　＋　０　＋　１
（３２円玉、８円玉、１円玉が各１枚）
なので、二進法で書けば、
１０１００１
です。


十進法の表記で４１を２でどんどん割り算していくと、

（３２　＋　０　＋　８　＋　０　＋　０　＋　１）　÷　２
　＝　（１６　＋　０　＋　４　＋　０　＋　０）　あまり１

（１６　＋　０　＋　４　＋　０　＋　０）　÷　２
　＝　（８　＋　０　＋　２　＋　０）　あまり０

（８　＋　０　＋　２　＋　０）　÷　２
　＝　（４　＋　０　＋　１）　あまり０

（４　＋　０　＋　１）　÷　２
　＝　（２　＋　０）　あまり１

（２　＋　０）　÷　２
　＝　１　あまり０

１　÷　２
　＝　０　あまり１


割り算をしていくごとに、かっこの中の足し算が減っていき、
割り算の回数が多いところで出るあまりほど、２進法で上の方の桁になるということです。

こんな説明でよろしいでしょうか？

No.1 回答者： info22 回答日時： 2009/04/30 01:45

たとえば10進法の123を2進法に直す場合の計算過程は

2で割って余りを取り除くことを繰り返す過程ですから
その過程を計算式で書き下すと以下のようになります。

123
=2*61+1
=2*(2*30+1)+1=(2^2)*30+1*2+1
=(2^2)(2*15+0)+1*2+1
=(2^3)*(2*7+1)+0*(2^2)+1*2+1=(2^4)*7+1*(2^3)+0*(2^2)+1*2+1
=(2^4)*(2*3+1)+1*(2^3)+0*(2^2)+1*2+1
=(2^5)*3+1*(2^4)+1*(2^3)+0*(2^2)+1*2+1
=(2^5)*(2*1+1)+1*(2^4)+1*(2^3)+0*(2^2)+1*2+1
=(2^6)*1+1*(2^5)+1*(2^4)+1*(2^3)+0*(2^2)+1*2+1
=1*(2^6)+1*(2^5)+1*(2^4)+1*(2^3)+0*(2^2)+1*2+1

最後の式は2進数の桁の重みを使って10進数を展開してた形式の表現になっていて、その1または0の係数は、2で割った時の余りから生成されていることが、計算過程からわかる。この余りの係数＝2進法の重み展開表現の係数だけを並べたものが2進法の表現であることが分かるだろう。
係数を桁の重みも大きい方から並べて書けば
=(1111011)2
これが十進法の123を2進法に変換した表現です。