「ブロック機能」のリニューアルについて

x=eのx乗
の解き方が分からないのですが、どうやって解けばいいのでしょうか?

PCからなので式をうまく書けなくてすみません。

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A 回答 (4件)

#3 さんが数値解を示されたので、解法例だけ。



EXP(u+iw) = R +i*M
  R = EXP(u)*COS(w)
  M = EXP(u)*SIN(w)
とし、Newton 法が無難。
  ∂R/∂u = R, ∂R/∂w = -M
  ∂M/∂u = M, ∂M/∂w = R
の関係を使って、
  du = (R*dR + M*dM)/(R^2 + M^2)
  dw = (-M*dR + R*dM)/(R^2 + M^2)
により補正解を勘定。

EXCEL (単長桁) で初期値 {u0, w0} = {0, 1} からスタートした例では、28 回目で収束。
 
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数値計算すると


    x = 0.318131505204764135312654251588 - i*1.33723570143068940890116214319
になります。

a = 0.318131505204764135312654251588, b = -1.33723570143068940890116214319 のとき
   exp( a + i*b ) = exp(a)*cos(b) + i*exp(a)*sin(b) = a + i*b
となっていることが検算できます。
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初等関数(x^n, exp, log, sin, ...)では表せません.


LambertのW関数を用いれば,x = -W(-1) となります.

Lambertの W 関数は
 y exp(y) = x
を y について解いたもののことです(y = W(x)).
これは初等関数で書けない有名な関数の1つです.
W関数を用いると,
 x = exp(x)
 -x exp(-x) = -1 (移項)
 -x = W(-1) (LambertのW関数の定義)
∴ x = -W(-1) (移項)
とやって,解くことが出来ます.
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>x=eのx乗 の解き方が分からない ......



x を実数だとすると、e^x > x なので等号は成り立たない。つまり、解けません。

しかたなく、x は複素数(x = u + i*w) だとしましょう。
 u = EXP(u)*cos(w)
 w = EXP(u)*sin(w)
の連立解 {u, w} を求めねばなりませんが、数値解法を頼れば解けそうですね。
 
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