x=eのx乗の解き方

x=eのx乗
の解き方が分からないのですが、どうやって解けばいいのでしょうか？

PCからなので式をうまく書けなくてすみません。

No.4 ベストアンサー 回答者： noname#101087 回答日時： 2009/05/06 23:10

#3 さんが数値解を示されたので、解法例だけ。

EXP(u+iw) = R +i*M
　　R = EXP(u)*COS(w)
　　M = EXP(u)*SIN(w)
とし、Newton 法が無難。
　　∂R/∂u = R,　∂R/∂w = -M
　　∂M/∂u = M,　∂M/∂w = R
の関係を使って、
　　du = (R*dR + M*dM)/(R^2 + M^2)
　　dw = (-M*dR + R*dM)/(R^2 + M^2)
により補正解を勘定。

EXCEL (単長桁) で初期値 {u0, w0} = {0, 1} からスタートした例では、28 回目で収束。
　

No.3 回答者： inara1 回答日時： 2009/05/04 14:58

数値計算すると

　　　　x = 0.318131505204764135312654251588 - i*1.33723570143068940890116214319
になります。

a = 0.318131505204764135312654251588, b = -1.33723570143068940890116214319 のとき
　　　exp( a + i*b ) = exp(a)*cos(b) + i*exp(a)*sin(b) = a + i*b
となっていることが検算できます。

No.2 回答者： PRFRD 回答日時： 2009/05/04 12:50

初等関数（x^n, exp, log, sin, ...）では表せません．

LambertのW関数を用いれば，x = -W(-1) となります．

Lambertの W 関数は
　y exp(y) = x
を y について解いたもののことです（y = W(x)）．
これは初等関数で書けない有名な関数の１つです．
W関数を用いると，
　x = exp(x)
　-x exp(-x) = -1　(移項)
　-x = W(-1)　(LambertのW関数の定義)
∴ x = -W(-1)　(移項)
とやって，解くことが出来ます．

No.1 回答者： noname#101087 回答日時： 2009/05/04 12:44

>x=eのx乗 の解き方が分からない ......

x を実数だとすると、e^x > x なので等号は成り立たない。つまり、解けません。

しかたなく、x は複素数(x = u + i*w) だとしましょう。
　u = EXP(u)*cos(w)
　w = EXP(u)*sin(w)
の連立解 {u, w} を求めねばなりませんが、数値解法を頼れば解けそうですね。