Z会の問題、今まで見たこともない漸化式

Z会の問題で漸化式に関する次のような問題がありました。

a[n]>0
a[1]=1
a[2]=2
a[n+2]^3 - 5a[n]a[n+2]^2 - 4a[n]a[n+1]a[n+2] + 6a[n+1]^3 = 0

上記で定められるa[n]を求めるという問題なのですが、模範解答としては、a[n]=2^(n-1)と推測し、数学的帰納法で解くというものです。

しかし、これをなんらかの置き換えや、式変形で直接解く方法を考えているのですが、思いつきません。
直接の解法が思いつく方は教えていただけないでしょうか。

No.1 回答者： asymptote 回答日時： 2009/05/06 19:55

とりあえず漸化式がややこしく、a_3=4を出すにも３次方程式

(a_3)^3-5(a_3)^2-8a_3+48=0 を解くんですが因数分解の候補となる解が±｜定数項｜の約数/｜最高次の係数｜の約数　　で±48/1 で
－を含めると候補が２０個になっちゃうんで、まあ４は比較的小さいから代入する気にもなるんかもしらんけれどa_3出して帰納法以外のことをテストでやる時間はないでしょう。

まあカルダノの解法でa_3出すなんてのは思いつかないでしょうしね。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
たぶん、普通の方法は、a[3]くらいまでを求めてから、一般項を推測するものと思います。

お礼日時：2009/05/07 11:35