いくつか疑問があるので、伺いたいです。
ちなみに数学は素人です

メビウスの輪やクラインの壺は有名ですが、

メビウスの輪→表と裏がつながる。 言い換えると2次元が3次元に変化する、といえるでしょうか?

クラインの壺→内と外がつながる。 言い換えると3次元が4次元に変化する、といえるでしょうか?

また2次元が3次元に変わるのがメビウスの輪、
3次元が4次元に変化するのがクラインの壺なら

1次元が2次元に変わるのが、円
0次元が1次元に変わるのが 線
でいいでしょうか?

つまり、円とは、1次元の線の、本来つながるはずのない端と端が、2次元空間でつながることによって生じている、といえるでしょうか?

また、線は、0次元の大きさのない点の、何かと何かがつながることで、一つ上の次元の線になっている、といえるでしょうか?
0次元の点の場合、何と何がつながって線になるのでしょうか?

そもそもこういうまとめ方は、ありでしょうか?


僕は高校程度の知識しかなく、空想のたぐいなので、疑問を浮かぶまま書きました。
とても馬鹿っぽい質問ですが、何でもいいのでお返事いただけたらと思います。
疑問てんこ盛りです。

ネットでは調べたですが、上のような系統の話は見つからなかったのでこちらで伺います。

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A 回答 (3件)

>メビウスの輪→表と裏がつながる。

 言い換えると2次元が3次元に変化する、といえるでしょうか?
うーん。なかなか微妙な表現ですが、
「メビウスの輪は、局所的(ミクロ的に)に見れば2次元なんですが、メビウスの輪全体を2次元平面に書くことはできません。メビウスの輪を実際に作るには3次元空間が必要です。」
で、上の「」の中の表現を、もうちょっと数学的な言葉にすると、
「メビウスの輪は、2次元の微分可能多様体であるが、2次元のユークリックド空間R^2に埋め込むことは不可能で、3次元のユークリッド空間に埋め込むことは可能」
て感じになるでしょうか。

同様に、「クラインの壷は、3次元多様体で、4次元のユークリッド空間に埋め込み可能」
「円は、1次元多様体で、2次元のユークリッド空間に埋め込み可能」
です。
真面目に勉強したいなら、「微分(解析)幾何」という分野の本を読むといいです。おそらく大学3年くらいで習う内容です。「多様体」「位相(トポロジー)」とかいうキーワードが出てきます。

>0次元が1次元に変わるのが 線
これだけは、上のような解釈ができない。

この回答への補足

今思いついたんですが、

0次元の点が線になるのは、
この世に自分だけしかないはずの0次元の点が、その自らとひっつくことで、1次元の線になる、というのはだめでしょうか?

感覚的にはこれはぴったりなんですが・・

数学は感覚ではない・・・ですよねー。

補足日時:2009/05/14 13:29
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この回答へのお礼

多様体ーーwikiでみたのですが、レベルが高すぎました。
大雑把にすら、今ひとつ、どうしてこういう概念が生まれるのかよくわからなくて。
これ以上入ると、言われるとおりまじめに勉強しないと無理ですねー。
僕は微分積分の定義がどーーしても釈然としなくて、そこでつまづいています。残念無念。

トポロジーのほうは、前から興味があって概念は知っていますが、これも厳密な話は理解できてません。

微分幾何学か~~。道は遠いなー。

>なかなか微妙な表現
ということは、大間違いではない、という程度に受け取っていいでしょうか?

0次元の点だけが、線にならない、というのは実に不思議ですね~~。

回答ありがとうございました!

お礼日時:2009/05/14 07:17

4次元が、XYZと時間という解釈には少々疑問が残る場合もあるんじゃないかと思うのですが・・・。



+1次元がどういうパラメータであるかという点について、必ずしも時間ではないと。

例えば、時間軸を含まない4次元図形も、4次元図形ですよね。
4次元図形は、ステレオグラムなどで3次元可視化もでき、コンピューター上で、アニメーションさせる事もあると思います。
その場合、アニメーションが時間の経過だと思うんで、今映っているものは何なのかという話になるんじゃないかと。
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この回答へのお礼

あ、はい

数学の疑問として質問させてもらったので、
ずーっと4次元5次元・・・と続くのは、これは空間図形の話で、ということでお願いします。

お返事ありがとうございました。

お礼日時:2009/05/14 13:29

一次元…点と線しか存在しない世界。


二次元…平面の世界。X軸とY軸
三次元…高さが加わった世界。X軸Y軸Z軸
四次元…時間軸のある世界。 

ではないかと思います。
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この回答へのお礼

お返事ありがとうございます!

ちょっと、回答の意味が見えないのですが。
ごめんなさい。たぶん質問文が下手だったかもしれません。

4次元の部分は、これは宇宙物理的な解釈の場合ですねー。

お礼日時:2009/05/14 07:12

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Qメビウスの輪

メビウスの輪は無限と言いますが、有限という人もいます。

有限の場合、どこが有限なのですか?メビウスの輪は表も裏もない無限のような気がするのですが・・・

わかりやすく教えてください。

Aベストアンサー

こんにちは。

スタート地点に印でもつけておけば、必ずそこに戻ってきますので、無限という事ではないでしょう。
無限なら元来た場所には戻らないはずですので。

でも有限というよりは、閉じた1次元空間というのがいいかもしれません。

Q4次元空間の4つのベクトルが張る空間が1次元、2次元、3次元、4次元である条件

4次元空間にゼロベクトルでない4つのベクトルを考えます。
a↑=(a[1],a[2],a[3],a[4])
b↑=(b[1],b[2],b[3],b[4])
c↑=(c[1],c[2],c[3],c[4])
d↑=(d[1],d[2],d[3],d[4])
とします。
これらのベクトルで張られる空間が1次元、2次元、3次元、4次元である条件を求めたいのです。
各ベクトルを並べて行列(a↑ b↑ c↑ d↑)を作り、基本変形で階数を計算するというアルゴリズムではなく、各成分の代数的な関係を求めたいのです。

4つのベクトルで張られる空間が4次元のとき、超体積が0ではないので、行列式
|a↑ b↑ c↑ d↑|≠0

4つのベクトルで張られる空間が1次元のとき、すべて平行なので、
a↑∥b↑∥c↑∥d↑

a[1]:a[2]:a[3]:a[4]=b[1]:b[2]:b[3]:b[4]=c[1]:c[2]:c[3]:c[4]=d[1]:d[2]:d[3]:d[4]

(a[1]/a[4],a[2]/a[4],a[3]/a[4])=(b[1]/b[4],b[2]/b[4],b[3]/b[4])
=(c[1]/c[4],c[2]/c[4],c[3]/c[4])=(d[1]/d[4],d[2]/d[4],d[3]/d[4])

このあと、一つの式にする、つまり、イコールを一つだけにしてきたいのですが、複雑そうです。行列式またはシグマ記号を使って、表記できないでしょうか?

4つのベクトルで張られる空間が2次元、3次元のとき、それぞれの各成分にはどういった関係式があるのでしょうか?

4次元空間にゼロベクトルでない4つのベクトルを考えます。
a↑=(a[1],a[2],a[3],a[4])
b↑=(b[1],b[2],b[3],b[4])
c↑=(c[1],c[2],c[3],c[4])
d↑=(d[1],d[2],d[3],d[4])
とします。
これらのベクトルで張られる空間が1次元、2次元、3次元、4次元である条件を求めたいのです。
各ベクトルを並べて行列(a↑ b↑ c↑ d↑)を作り、基本変形で階数を計算するというアルゴリズムではなく、各成分の代数的な関係を求めたいのです。

4つのベクトルで張られる空間が4次元のとき、超体積が0ではないので、行列式
|a↑ b↑...続きを読む

Aベストアンサー

失礼しました。
とすると、
rankA=4 |A|≠0
rankA=3 Aの3次小行列式の中に0でないものがある。
     かつ、|A|=0

rankA=2 Aの2次小行列式の中に0でないものがある。
     かつ、3次小行列式がすべて0かつ|A|=0

rankA=1 Aの1次小行列式の中に0でないものがある。
     かつ、2次小行列式、3次小行列式が0、かつ|A|=0

任意のr次小行列式を|Ar|で表しても、
rankA=1のときは、
a1*a2*a3*a4*b1*・・・*d3*d4≠0
かつ
|A2|=|A3|=|A|=0(|A2|は36通り、|A3|は9通り)
|A2|=0の条件だと、4×4の成分をaijと書いて、
Σ[i=1,3]Σ[j=2,4,i<j]Σ[k=1,3]Σ[l=2,4,k<l]|(aik*ajl-ajl*aik)|=0
とでも表記できますが、
1つのイコールではちょっときついんではないでしょうか?

Qメビウスの輪上のコイルでの誘導電流

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Aベストアンサー

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Qメビウスの輪でレポートを書きたいんですけどどうやって書けばいいか教えてくだい

メビウスの輪でレポートを書きたいんですけどどうやって書けばいいか教えてくだい

Aベストアンサー

下のURLをクリックして表示される空欄に「メビウスの輪」と入力
します。画面が変わります。
変わらない場合は「Google検索」をクリックします。
更に、Googleの右端の拡大鏡をクリックします。

数行下に「メビウスの輪の画像検索結果」が表示されます。
この文字列にマウスのカーソルを移動し、クリックします。

各種の「メビウスの輪」の図が多数表示されますので、この図を
参考にして描くと良いでしょう。

「Google検索(メビウスの輪の画像検索結果)」
https://www.google.co.jp/?hl=ja&gws_rd=cr,ssl&ei=IGOdV_fLKoGv0gSlmIrgAw

Q【数学】「数学は全て2次元に表すことが出来る」って本当ですか? 3次元のグラフも2次元で書けるって

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3次元のグラフも2次元で書けるってこと?

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三次元を二次元って、3DCGをテレビ画面で見てますよね?
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Qメビウスの輪

メビウスの輪の
・裏表がない
・180°ひねって作ったメビウスの帯を、帯の真ん中を切断すると、輪 は2つに分かれずに大きな1つの輪になる、この輪は720°ひねられた 状態で表裏が分かれており、つまりメビウスの帯ではない
・帯の幅1/3のところを切断すると、1つの大きな720°ひねられた輪と1 つの小さなメビウスの帯ができる
以外のの性質を教えてください。

Aベストアンサー

・クラインの壷(※1)を縦に切り裂くと、メビウスの輪が2本現れる。
逆に2本のメビウスの輪を境界同士で張り合わせるとクラインの壷が出来る。
・射影平面(※2)から円盤○を切り抜くと、メビウスの輪が現れる。
逆にメビウスの輪と円盤(膜)を境界同士で張り合わせると射影平面が現れる。

※1 正方形ABCDのABとCD、BCとADをそれぞれこの向きで張り合わせた、表裏のない曲面
A→D
↓↑
B→C

※2 正方形ABCDをABとCD,BDとDAをそれぞれこの向きで張り合わせた、表裏のない曲面
A←D
↓↑
B→C

いずれも3次元空間で実現しようと思ったら、自己交叉してしまいます。(要するに実現不可能)

Q【数学】2次方程式の「次」、2元2次方程式の「元」、平方根完成の「完成」ってどういう意味ですか?

【数学】2次方程式の「次」、2元2次方程式の「元」、平方根完成の「完成」ってどういう意味ですか?

Aベストアンサー

2次: 項の変数のべき数の和の最大値が2
2次式の例xy, x^2+y, x^2+y^2+xy
2元: 未知数が2個
平方根完成ではなくて、平方完成です。
いろいろバリエーションがあるのですが
よく使うのは
2次関数 f(x)=ax^2+bx+c を a(x+p)^2+q という
標準形に直すことですね。

Q化学結合をメビウスの輪で考える考え方はありますか

共有結合の電子の軌道をメビウスの輪のようなものとして考える方法はありますか。

Aベストアンサー

確かに、軌道をイメージするにはそういう方法もあるのかな。全然、思いつかなかった。

超ヒモ理論、難しいよね。これがイメージできないのは、そういう発想ができないからかも。

単なる自己反省でした。ゴメン。

Qトーラスは R/Z × R/Z と同相。ではクラインの壷は?

直線は実数 R と同相です。

円周は実射影直線 RP(1) = { R^2 - {(0, 0)} } / ~ (比が同じものを同一視) と同相です。
また、円周は実数に無限遠点を付け加えた R∪{∞} とも同相です。
また、円周は実数体 R を有理整数環 Z で割った剰余環 R / Z とも同相です。

線分は、実数に無限遠点を2個付け加えた R∪{+∞, -∞} とも同相です。

平面は実数の組 R^2 や複素数 C と同相です。

球面は複素射影直線 CP(1) = { C^2 - {(0, 0)} } / ~ (比が同じものを同一視) と同相です。
また、球面は複素数に無限遠点を付け加えた C∪{∞} とも同相です。

実射影平面は RP(2) = { R^3 - {(0, 0, 0)} } / ~ (比が同じものを同一視) と同相です。

トーラスは R/Z × R/Z と同相です。

では、円板(境界を含む)はどのような代数的存在と同相と考えることができるのでしょうか?

クラインの壷はどのような代数的存在と同相と考えることができるのでしょうか?

その他、上記のような幾何学的存在と代数的存在の関係に、なにか別のいいアイデアがありましたらいただけないでしょうか?

直線は実数 R と同相です。

円周は実射影直線 RP(1) = { R^2 - {(0, 0)} } / ~ (比が同じものを同一視) と同相です。
また、円周は実数に無限遠点を付け加えた R∪{∞} とも同相です。
また、円周は実数体 R を有理整数環 Z で割った剰余環 R / Z とも同相です。

線分は、実数に無限遠点を2個付け加えた R∪{+∞, -∞} とも同相です。

平面は実数の組 R^2 や複素数 C と同相です。

球面は複素射影直線 CP(1) = { C^2 - {(0, 0)} } / ~ (比が同じものを同一視) と同相です。
また、球面は複素数に無限...続きを読む

Aベストアンサー

 
無限遠点を付け加えたり、一点(原点)を引いたりするのは抵抗ないみたいなので連結和もOKかと思いましたが、ダメでしたか・・・。
連結和に代数的イメージを結びつけるのは難しいですね。うまい具合に代数的に意味のある場所でディスクを切り取れて、なおかつ代数的に意味のある方法で貼り付ける必要がありますね、
 
 
等質空間ほど綺麗な構成方法ではありませんが、代数的に意味のある方法でメビウスの帯やクライン管を作る方法を考えてみました。
 
【メビウスの帯】
まず実数R={x:実数}と1次元トーラスS1={θ:0≦θ<2π}の直積R×S1を作ります。
このR×S1の元の同値類~を次のように定義します。
 (x,θ)~(-x,θ+π)
すると商空間M=(R×S1)/~ は境界を含まないメビウスの帯になります。
これは球面の北極と南極を除いたものに実射影平面RP(2)を作る同一視と同じ操作を行ったもので、従って実射影平面RP(2)からディスクを取り除いたもの(=メビウスの帯)が得られます。
境界を含みたかったらRをR∪{+∞, -∞} などで置き換えてください。
 
【クラインの壷】
R×S1の同値類を次のように定義します。
 (x,θ)~(-x,θ+π)~(x+1,θ)
この同値類による商空間KL=(R×S1)/~ はクラインの壷になります。
この操作を元の空間R×S1内の矩形[0,1]×[0,π]に制限してみると、上下の辺を逆向きに、左右の辺を順向きに貼り合せるクラインの壷の構成方法に一致することが判ります。
 
こんなんでいかがでしょうか?

 
無限遠点を付け加えたり、一点(原点)を引いたりするのは抵抗ないみたいなので連結和もOKかと思いましたが、ダメでしたか・・・。
連結和に代数的イメージを結びつけるのは難しいですね。うまい具合に代数的に意味のある場所でディスクを切り取れて、なおかつ代数的に意味のある方法で貼り付ける必要がありますね、
 
 
等質空間ほど綺麗な構成方法ではありませんが、代数的に意味のある方法でメビウスの帯やクライン管を作る方法を考えてみました。
 
【メビウスの帯】
まず実数R={x:実数...続きを読む


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