三角関数

画像のtan75°について聞きたいです。
まず画像を見て下さい。
1/√3+1/√2/1-1/√3×1/√2が
√2+√3/√6-1になるか分かりません。
途中計算を教えて下さい。

あと、答えが3√3+4√2/5となっていますが、もう一つ違う問題では答えが2+√3になってます。
どちらかが間違ってるのでしょうか？
これに悩みすぎて進めないので、どうか教えて下さい。

No.1 ベストアンサー 回答者： owata-www 回答日時： 2009/05/17 02:06

(1/√3+1/√2)/(1-1/√3×1/√2)の分子と分母に√6をかけると

(√2+√3)/(√6-1)

になります、ただし今回はtanの加法定理
tan75°＝(tan45°+tan30°)/(1-tan30°tan45°)
を使っていますが、tan45°=1なので（画像では1/√2としていますが）
答えは2+√3になります

No.3 回答者： ESE_SE 回答日時： 2009/05/17 02:18

まず、

どこから1/√3 という数字が出て来たんでしょうか？
手元で計算したところ計算式には間違いはありませんが、
この1/√3 が間違いの元です。

正解はもう一つの答え・2+√3 の方です。
三角関数の定義を使って使い慣れないtanではなく使い慣れたcos・sinに変換、
さらに三角関数の加法定理を使って計算式として使いやすい角度に分解しましょう。

No.2 回答者： sanori 回答日時： 2009/05/17 02:14

こんばんは。

画像もあるので、わかることはわかるのですが、
質問本文の式は、ちゃんとかっこをつけるなどして、明確に書いてください。


＞＞＞途中計算を教えて下さい。

与式　＝　（１／√３　＋　１／√２）／（１　－　１／√３・１／√２）
　＝　（１／√３　＋　１／√２）／（１　－　１／√６）
分母と分子に　√６　をかけて
　＝　（√６／√３　＋　√６／√２）／（√６　－　１）
　＝　（√２　＋　√３）／（√６　－　１）


＞＞＞答えが3√3+4√2/5となっていますが、もう一つ違う問題では答えが2+√3になってます。

上のつづき。

分母を簡単にするため、
（ａ＋ｂ）（ａ－ｂ）　＝　ａ^2　＋　ｂ^2
を利用します。
すなわち、分母と分子に　√６　＋　１　をかけます。
与式　＝　（√２　＋　√３）／（√６　－　１）
　＝　（√６　＋　１）（√２　＋　√３）／（√６　＋　１）（√６　－　１）
　＝　（√６　＋　１）（√２　＋　√３）／（（√６）^2　－　１^2）
　＝　（√６　＋　１）（√２　＋　√３）／（６　－　１）
　＝　（√６　＋　１）（√２　＋　√３）／５

分子だけ計算すると、
（√６　＋　１）（√２　＋　√３）
　＝　√６×√２　＋　√６×√３　＋　１×√２　＋　１×√３
　＝　√１２　＋　√１８　＋　√２　＋　√３
　＝　√（２^2×３）　＋　√（３^2×２　＋　√２　＋　√３
　＝　２√３　＋　３√２　＋　√２　＋　√３
　＝　３√３　＋　４√２

よって、
与式　＝　（３√３　＋　４√２）／５　＝　こたえ


＞＞＞どちらかが間違ってるのでしょうか？

上の答えから、どうやっても　√２　は消えないので、
２＋√３　という答えは間違ってますね。


以上、ご参考になりましたら幸いです。