平方根を含んだ式の大小比較

はじめまして。


√7と3の大小比較などは、2乗して比べるなどして簡単にできますが、
それでは
[4√7＋6]と[6√6-1]などといった、平方根を含んだ式同士の大小比較は可能なのでしょうか？

よろしくお願いします。

No.4 ベストアンサー 回答者： hugen 回答日時： 2010/12/19 21:27

4√7＋6＞6√6-1　

⇔　4√7＋7＞6√6
⇔　(4√7＋7)^2＞(6√6)^2
⇔　56√7＞55
---------------
56√7＞56*1＞55

No.6 回答者： alice_44 回答日時： 2010/12/20 02:49

この手の問題は、結論さえ得てしまえば、

後づけの理屈で証明する手段は山ほどある。

では、最初に 4√7＋6 と 6√6-1 の大小を
どうやって見切るのかと言えば、
√7 と √6 の近似値を知っているのが一番速い。
√2 = 1.41421356…
√3 = 1.7320508…
√5 = 2.2360679…
√7 = 2.64575…
程度のことは、私が中学生の頃は、
かなり成績の悪い生徒でも知っていたものだが、
ゆとり以降の世代には困難かもしれない。

近似値を知らなければ、概算すればいい。
25×25 = 625 くらいは、流石に覚えているだろう。
あとは、26×26 = 676、27×27 = 729 を
順に計算してみれば、
√6 < 2.5 < 2.6 < √7　を発見できる。
これを使って、
4√7＋6 > 4×2.6+6 = 16.4
6√6-1 < 6×2.5-1 = 14　となるから、
4√7＋6 > 6√6-1　であることが判る。

上記をそのまま書いて証明としてもいいが、
かなりゴタゴタしているので、替わりに、
(4√7＋6) - (6√6-1) > 0 を示す計算過程を
何かデッチアゲることになる。例えば、
A No.5 のように naive に書いてもよいし、
A No.4 のように書けば鮮やかだ。
他にもイロイロあるだろう。

この回答への補足

　

補足日時：2010/12/20 03:02

この回答へのお礼

　

お礼日時：-0001/11/30 00:00

No.5 回答者： info22_ 回答日時： 2010/12/19 22:41

単純に差をとると

[4√7＋6]-[6√6-1]=7+4√7-6√6
=(7+4√7-6√6)　←正の項と負の項を分ける
=(7+4√7-6√6)(7+4√7+6√6)/(7+4√7+6√6)　←分子、分母に(7+4√7+6√6)(＞0)を掛ける
=[(7+4√7)^2-(6√6)^2]/(7+4√7+6√6)　←分子の計算(公式(A-B)(A+B)=A^2-B^2使用）
=(56√7-55)/(7+4√7+6√6)　←ここで√7＞1なので分子＞0と分かる。

あるいは、さらに分子、分母に(56√7-55)＞0を掛けると

=(56√7-55)(56√7+55)/[(56√7+55)(7+4√7+6√6)]
=[(56√7)^2-55^2)/[(56√7+55)(7+4√7+6√6)] ←分子の計算(公式(A-B)(A+B)=A^2-B^2使用）
=(21952-3025)/[(56√7+55)(7+4√7+6√6)]
=18927/[(56√7+55)(7+4√7+6√6)]＞0

∴　4√7＋6 ＞ 6√6-1

No.3 回答者： f272 回答日時： 2010/12/19 21:22

私なら

√7が2.5よりもちょっと大きくて、√6が2.5よりもちょっと小さいのだから
4√7+6は16よりもちょっと大きくて、6√6-1は14よりもちょっと小さい。
と考える。

No.2 回答者： debukuro 回答日時： 2010/12/19 20:43

差を取るのが常道ですがそれが出来ないときは

因数分解できるように二式それぞれに等しい数xを加えてから因数分解する
ｘを見付けるのが大変ですがね

No.1 回答者： okada2728 回答日時： 2010/12/19 20:23

大小の比較は基本はそのまま差をとることで、それが無理なら2乗して差をとるということではないでしょうか。

本問の場合、まずは引き算して、次に2乗して差をとることで比較できると思います。