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ルートの入った方程式が解けません。どなたか、次の方程式の解き方を教えて頂けませんか?
√(x-4)2乗+10の2乗 + √(x-10)2乗+90の2乗 = 100.5442
環境学で、遮音壁の高さを計算するのに必要なのですが、数学を忘れてしまい、行き詰っています。

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A 回答 (3件)

(x-4)2乗+10の2乗や(x-10)2乗+90の2乗は、√の中にあるんでしょうか?



だとしたら次のようにしてみてください。(途中まで解いたのですが係数がすさまじい数字になって、間違いなく計算ちがいしているので具体的数値は書きません) A=100.5442とします。また、10^2=100、90^2=8100

両辺を2乗する。 (x-4)^2+100+2√((x-4)2乗+100)√((x-10)2乗+8100)+(x-10)2乗+8100=A^2

√のついていない項を右辺へ移項  2√((x-4)2乗+100)√((x-10)2乗+8100)=A^2-(x-4)^2+100-(x-10)2乗+8100

これの両辺を2乗すると√が消え、整理すると4次の項が消えて3次方程式に成ります(ひょっとすると2次方程式?)。

カルダノの公式を使うか、数値的に解くことになるでしょう。数値的にとくなら最初からエクセルのゴールシーやかソルバーを使った方が簡単かもしれません。

あと、2乗を2回もしているので無縁の根が混じるでしょう。検算を忘れずに行なってください。
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先ずは


90=A
100.5442=B
と置いて計算します
最後にA,Bにそれぞれの値を代入すればいいです
図を添付しますが1式と2式では結果が異なるので注意してください
このような計算に具体的な値は使わないほうが楽です

おそらく1式だと思います
両辺を二乗してからxを含まない項を右辺に移項すればいいのです
「ルートの入った方程式の解き方」の回答画像3
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√a^2=a

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Q数学の方程式の解き方を教えて下さい!

5+1/2ルート100+r=11
この時のrを求めて下さい。
※100+rはルートの中に入ってます。

学生時代にやったはずなのに、長く数学と触れ合わなかったので忘れてしまって…。

申し訳ないですが、解き方を教えて下さい。
特にルートの外し方が分からず、解けなくなっている状態なので、その部分を詳しく教えていただければ幸甚です。

Aベストアンサー

#1ですが補足です。
√とは「二乗すればその数になる」ということなので√x=yならx=y^2(yの二乗)です。
√4=2です。
つまりルートを外すには右も左も二乗するということになります。

Qルートの入った方程式の解き方 補足版

先ほど、ルートの入った方程式の解き方を質問し、早速何通か回答を頂いたのですが、質問の計算式がわかりにくかったかもしれないので、再度添付します。
どなたか、この式の解き方を教えて頂けませんか?
またエクセルでも解けるのでしょうか?

Aベストアンサー

√{(ⅹ-4)^2+100)}+√{(ⅹ-10)^2+8100}=100.5442
100.5442=Aとおいて、左辺第1項を右辺に移項する。
√{(ⅹ-10)^2+8100}=A-√{(ⅹ-4)^2+100)}
両辺を2乗する。
(ⅹ-10)^2+8100
   =A^2-2A√{(ⅹ-4)^2+100)}+(ⅹ-4)^2+100
x^2-20x+8200
   =A^2-2A√{(ⅹ-4)^2+100)}+x^2-8X+116
右辺第2項(ルートを含む項)を左辺に、残りを全て右辺に移項
2A√{(ⅹ-4)^2+100)}=12ⅹ+A^2-8084
ここで、左辺は少なくとも正だから、右辺も正だから
12ⅹ+A^2-8084>0 A=100.5442を代入して整理。
 ∴x>-168.7613 ・・・(1)
元の式の両辺を2乗して
4A^2×{(ⅹ-4)^2+100)}
   =144ⅹ^2+24(A^2-8084)x+(A^2-8084)^2
左辺を展開して整理する
4(A^2-36)ⅹ^2-8(7A^2-24252)x-(A^4-16632A^2+8084^2)=0

これを、解の公式を使って解けば良いのですが・・・やりたくないですね。
ただ、xは2と2.5の間に一つ、7と7.5の間にもう一つ解がありそうです。
これは(1)式の条件を満たしますので、問題は無さそうです。

√{(ⅹ-4)^2+100)}+√{(ⅹ-10)^2+8100}=100.5442
100.5442=Aとおいて、左辺第1項を右辺に移項する。
√{(ⅹ-10)^2+8100}=A-√{(ⅹ-4)^2+100)}
両辺を2乗する。
(ⅹ-10)^2+8100
   =A^2-2A√{(ⅹ-4)^2+100)}+(ⅹ-4)^2+100
x^2-20x+8200
   =A^2-2A√{(ⅹ-4)^2+100)}+x^2-8X+116
右辺第2項(ルートを含む項)を左辺に、残りを全て右辺に移項
2A√{(ⅹ-4)^2+100)}=12ⅹ+A^2-...続きを読む

Q方程式の解き方(ルート含む)

数学のルートを含む比率の式の解き方を教えてください。
1:√3=X:10
です。これをとくと、10=X√3になって・・・
わかりません。教えてください。

Aベストアンサー

普通に移項して、
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Q√(ルート)の解き方  (急いでます。)

明日、学校で√のテストがあります。
私は登校拒否だったので√の解き方が全く分かりません。
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(○は数字です。)
√○=という基本の問題もあるし、√の分数などもあります。
√というのがさっぱりわからないので教えてください。

Aベストアンサー

整数の√の例題と分数の√の例題を作ってみました。
簡単化の仕方を説明つきで書いておきます。

▶ 整数の√

√108
108=2x2x3x3x3→√108=2x3√3=6√3

√88
88=2x2x2x11→√88=2√(2x11)=2√22

のようにルートの中を素因数分解して、同じ因数が2つ物を1つにして√の前に出し、ルートの前同士、ルートの中同士かけて答えとします。

√9216
9216=2x2x2x2x2 x 2x2x2x2x2 x 3x3
√9216=2x2x2x2x2 x3
  =32x3=96

▶ 分数の√

√(108/88)
先ず分数の分子、分母それぞれを因数分解する
108=2x2x3x3x3
88=2x2x2x11
つぎに分子と分母の約分をする
108/88=3x3x3 / 2x11
次に
分子分母に分母が二乗になるような因数を書ける
108/88=3x3x3 / 2x11=2x3x3x3x11 / 2x2x11x11

同じ因数が2つある場合は√の前に因数を括りだす。
√(108/88)=3 √(2x3x11) /(2x11)
     =3(√66)/22

√(6/5)
6/5=2x3/5
=(2x3x5)/(5x5)
√(6/5)=(√30)/5

[要点]
分数のルートは
分母は整数、分子だけルートを含む形
に簡単化する。(分母の有理化とう言う)

整数の√の例題と分数の√の例題を作ってみました。
簡単化の仕方を説明つきで書いておきます。

▶ 整数の√

√108
108=2x2x3x3x3→√108=2x3√3=6√3

√88
88=2x2x2x11→√88=2√(2x11)=2√22

のようにルートの中を素因数分解して、同じ因数が2つ物を1つにして√の前に出し、ルートの前同士、ルートの中同士かけて答えとします。

√9216
9216=2x2x2x2x2 x 2x2x2x2x2 x 3x3
√9216=2x2x2x2x2 x3
  =32x3=96

▶ 分数の√

√(108/88)
先ず分数の分子、分母それぞれを因数分解する
108=2...続きを読む

Q分数のまじった2次方程式の問題について

2次方程式の問題について質問です。(『X2』は『エックス2乗』です)

1/2X2+X-2=0や、1/3X2-X-1/2=0

↑の様な分数のまじった方程式の解き方が分かりません。
解の公式で解くにしても、分数がまじっているので解き方が全然分かりません(>_<)

分かる方は、是非教えて下さい!(私は数学が苦手なので、出来るだけ分かりやすく教えてもらえると嬉しいです。)

Aベストアンサー

2次方程式の基本はxの係数を1にすることです。(常にそうというわけではないですが)
例えば最初の式で両辺を2倍してみたらどうですか?
X2+2X-4=0となり、これで分数は消えました。あとは解の公式でとけますよ。

Q分母にxのある方程式の解き方を教えて頂けますか?

分母にxのある方程式の解き方を教えて頂けますか?

15/(6-x)-15/(7-x)=1/2

よろしくお願いします。

Aベストアンサー

こんばんは。

両辺に、2(6-x)(7-x)をかけましょう。
そうすれば、分母からxがなくなります。

分母に(6-x)や(7-x)があるせいで困っているのだから、
分母からこれらをなくしてやればいいという発想ですね。

以下、ご参考まで。
15/(6-x)-15/(7-x)=1/2 ←元の方程式
30(7-x)-30(6-x)=(6-x)(7-x)
210-30x-180+30x=42-13x+x^2
(x^2)-13x+12=0
(x-1)(x-12)=0   ∴x=1,12

Q答えがルートの方程式の解き方

またまた、お願いします。

(1)(X-1)^2=5


(2)(2X+3)^2=X(X-3)+6

この2問です。

お願いします。

Aベストアンサー

(1)(X-1)^2=5
両辺、平方根をとって
 X-1=±√5
両辺に1を加えて
 ∴X=1±√5

(2)(2X+3)^2=X(X-3)+6
括弧をはずして
 4X^2+12X+9=X^2-3X+6
右辺を左辺に移項して
 3X^2+15X+3=0
3で割って
 X^2+5X+1=0
左辺の平方を完成して
 (X+(5/2))^2-(5/2)^2 +1=0
 (X+(5/2))^2 -25/4 +1=0
 (X+(5/2))^2 -21/4=0
定数項を右辺に移項して
 (X+(5/2))^2 = 21/4
両辺、平方根をとって
 X+5/2=±√21/2
左辺の5/2を右辺に移項して
 X=-(5/2)±√21/2
 ∴X=(-5±√21)/2

Q数学の両辺2乗と√について教えてください

「√○=√△」→「○=△」
「○=△」→「√○=√△」

「√○=△」→「○=△^2」
「○=△^2」→「√○=△」
これが成り立つのは○と△がどんな条件のときですか?

Aベストアンサー

中学校で習いますね √(a^2)=aは間違いだと あれですよ 高校行くと√(a^2)=|a|で記号が増えただけで意味わからんところです
「√○=√△」→「○=△」「○=△」→「√○=√△」「√○=△」→「○=△^2」は無条件で成立
「○=△^2」→「√○=△」はだめ 
理由は簡単 平方して等しい式は元の式の符号がわからなくなるので元に戻して2乗を外すときは注意です4=(-2)^2 しかし√4=-2ではありませんね
条件は最後の「√○=△」からでます √○とかくと ルートの中は0以上に実数、さらに√○は0以上の実数と高校で習いますから△は0以上の実数をつけましょう  
基本的に等式の両辺には同じ操作をしてもいいんですがルートをつけるときはルートの定義や符号問題で注意です

Q2乗しても同値性が崩れないときと崩れるとき

2乗しても同値性が崩れないときともう一つの解が割り込んできて同値性が崩れるときはそれぞれどのような場合なのでしょうか。よく方程式の両辺を2乗してルートをはずしたり、代入しやすくしたりすると思うのですが、問題をやっていて「ここで2乗してもいいのかな?」といつも迷ってしまいます。このようにならないためにはどのようなことに気をつければよいのでしょうか。

例);2乗してもいいとき

X=-1/2(α+β){[(α+β)^2]-1}・・・(1)
Y=3/4[(α+β)^2]+3/4・・・(2)

ここでXとYの関係式を作るために(2)を(α+β)^2=・・・の形にして置いて・・・(2)”、(1)の両辺を2乗して(α+β)^2を作り出しておいてから(2)”を(1)に代入するというものです。

Aベストアンサー

OKじゃ!x実数⇒t実数はよいが、その逆、tが実数→x実数はかならずしも成り立たない。このことに気がつくだけでも良かったのだが、ちゃんと解答を作るとは!

x実数⇔t実数かつ(tは正または0)  
つまり、式の一部を他の文字に置き換えると、同値関係が崩れることがあるということ。解決法は、おきかえた式に戻って検討するだけ。解答はs-wordさんのでOK!

<まとめ>
同値関係が崩れる可能性のあるパターン
1.分母を払うとき
2.等式、不等式の両辺を平方するとき
3.2つの等式、不等式を加減するとき
4.式の一部を他の文字で置き換えるとき

s-wordさんの謎もこれで解決したはず。2乗(平方)したら、同値関係は崩れると思ったほうが良い。代入(加減)も同じ。(もちろん、崩れない場合もある)解決法は、平方の場合は、最初の条件にもどって検討する。代入(加減)の場合は、代入した式に戻って検討する。

ちなみに、7の問題は大変な良問で、いろいろな解法が出来ます。私はパラメ-タaを分離して、解決しました。これは、受験数学のテクニックのひとつで、aとxが伴って変わらくて、しかもaとxを分離することが容易な場合に威力を発揮します。また、xについての二次方程式でもあるので、判別式を利用して解くことも出来るし、さらにs-wordさんの解で、特殊な絶対不等式を使うことも出来る。この絶対不等式は、私は気づきませんでした。問題の型を見た瞬間に、パラメタ分離→微分して調べるという構図が浮かんでしまったからです。某料理会の○皇様が、料理は工夫しすぎるということはない。さらなる工夫をもって精進せいよなどどと言っていたのを思い出しました。まったく数学は奥が深いのう。

OKじゃ!x実数⇒t実数はよいが、その逆、tが実数→x実数はかならずしも成り立たない。このことに気がつくだけでも良かったのだが、ちゃんと解答を作るとは!

x実数⇔t実数かつ(tは正または0)  
つまり、式の一部を他の文字に置き換えると、同値関係が崩れることがあるということ。解決法は、おきかえた式に戻って検討するだけ。解答はs-wordさんのでOK!

<まとめ>
同値関係が崩れる可能性のあるパターン
1.分母を払うとき
2.等式、不等式の両辺を平方するとき
3.2つの等式、不等...続きを読む

Qルートの入った方程式

-2エックス+(2ルート3)エックス=16-8ルート3
の解を教えてください

とき方も教えていただけたら嬉しいです

Aベストアンサー

>>-2エックス+(2ルート3)エックス=16-8ルート3
-2x + (2√3)x = 16-8√3
でよいでしょうか?

こういうところでは
Xの2乗は X^2
分数は /
×を *
と書いたりします

-2x + (2√3)x = 16-8√3
2(√3 - 1)x = 8(2 - √3)
x = 8(2 - √3) / 2(√3 - 1)
ここで右辺に (√3 + 1)/(√3 + 1) をかけます
分母と分子は同じなので、実はただの1をかけています

8(2 - √3) / 2(√3 - 1)
= {8(2 - √3) / 2(√3 - 1)} * {(√3 + 1) / (√3 + 1)}
= {8(2 - √3) * (√3 + 1)} / {2(√3 - 1) * (√3 + 1)}
= -8{(√3 - 2) * (√3 + 1)} / 2{(√3 - 1) * (√3 + 1)}
= -8(√3^2 -1√3 -2) / 2(√3^2 - 1^2)
= -8(3 -√3 -2) / 2(3 - 1)
= -8(1 -√3) / 4
= -2(1 -√3)
= 2(√3 - 1)

なので
x = 2(√3 - 1)

(1)(x + a)(x - a) = x^2 - a^2を利用して、分母の√3をなくします
分母の(√3 - 1)に対して(√3 + 1)をかけるわけです
あとは素直に計算していくだけだと思います。

>>-2エックス+(2ルート3)エックス=16-8ルート3
-2x + (2√3)x = 16-8√3
でよいでしょうか?

こういうところでは
Xの2乗は X^2
分数は /
×を *
と書いたりします

-2x + (2√3)x = 16-8√3
2(√3 - 1)x = 8(2 - √3)
x = 8(2 - √3) / 2(√3 - 1)
ここで右辺に (√3 + 1)/(√3 + 1) をかけます
分母と分子は同じなので、実はただの1をかけています

8(2 - √3) / 2(√3 - 1)
= {8(2 - √3) / 2(√3 - 1)} * {(√3 + 1) / (√3 + 1)}
= {8(2 - √3) * (√3 + 1)} / {2(√3 - 1) * (√3 + 1)}
= -8{(√...続きを読む


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