床との衝突による鉄球の運動について教えてください。

床からhの位置に鉄球を配置しストッパ等で位置を固定します。
その状態で鉄球をバネで下方向に押さえ込みます。
(バネ定数k、初期位置でのバネの圧縮量はαmm)

その後ストッパを外すと鉄球はバネに押され床に衝突し何回かバウンド
しながら停止します。

この現象について次を教えてください。
なお、その他の条件は次のとおりです。
鉄球の重さ:m 反発係数:e 
床に接したときのバネの圧縮量:α-h(α-h<自由長)
バネによる荷重は垂直方向のみにかかるものとし
鉄球も垂直方向の運動しか行わない。
バネは鉄球に接着されており離れることはない。

1.ストッパを外し鉄球の位置がhxになったときの速度v(hxは任意の距離 h≧0)及び床に衝突するまでの時間T

2.床へ衝突して跳ね返り後の鉄球の最大到達高さh1とh1になるまでの任意の高さhxでの速度v1

3.跳ね返りが終わり停止するまでの時間および跳ね返り数

エネルギー保存の法則にて↓のような式を作って考えていたのですがよくわからなくなりました。(この式が正しいのか間違っているのかすら自信がありません…)

mgh+1/2kα^2=1/2mv^2+1/2k(α-h)^2

具体的な解き方や回答まで教えていただけると大変助かります。

ややこしい問題ですみませんが、お知恵をお貸しください。

A 回答 (2件)

軽く解いてみましたが計算が少々面倒で途中で止めてしまいました。



考え方としては、
バネに直結していることから、衝突するまで、そして衝突から衝突までの運動は単振動であること。
重力の影響についてはバネの自然長をオフセットして計算しても良い。

ということで計算可能です。
つまり、初期の圧縮量をα→α'=α+mg/kと置き換えて重力を無視して単振動の問題に置き換えてしまえばOKです。

初速度=0ですからこのときの圧縮量が振幅であり、質量m,バネ定数kであることから最初に衝突するまでの圧縮量(自然長からではなく、重力との釣り合いの位置からの圧縮量)をx(t)とすると
x(t)=α'cos{t*(m/k)^0.5}
となります。
速度は、これを微分して
v(t)=-α'(m/k)^0.5×sin{t*(m/k)^0.5}
が得られます。
任意の高さ、hxの時の速度を求めるには、そのときの圧縮量がα'-(h-hx)であることから時間tを求め、それからv(t)を求めればよい。なお、tは逆余弦関数であらわされることになるため注意が必要。
単に速度を求めるだけならエネルギー保存則を用いたほうが簡単ですが、時間を求めるにはこの式を使う他に方法は無いと思います。

衝突後については、速度がe倍になることを利用して解くことになります。

ただ、衝突時の速度が"0"になることはありえないので停止するまでの衝突回数が有限におさまることはありえません。時間は有限になる可能性がありますが跳ね返り回数は無限回となります。(このところはまだ確認していません。)
    • good
    • 0

床面を0とし、上向きにx座標を取ると


第1回の衝突までの運動方程式は
md^2x/dt^2=-mg
dx/dt=-v0-gt
x=h-v0-gt^2/2
初速度v0はバネの作用時間Δtによって変わってくると思いますが
エネルギーを考えて
mv0^2/2=ka^2/2
でもとめてよいのか検討してください。
衝突後は初速度が+になり、hも変わりますが、基本的には同様の方程式を丹念に解いていくほかないと思います。
    • good
    • 0

お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!

このQ&Aを見た人が検索しているワード

このQ&Aと関連する良く見られている質問

Qなぜ鉄球よりもゴムボールの方が高く跳ねるのか?

落下させようとする物体と地面と落下地点に取り付けられたバネがあるとします。

この場合、落下地点に取り付けられたバネのバネ定数が大きいほど、接触時間が短くなるので衝撃力が大きくなり、その分バネの復元力が強くなり、跳ね返った後、より高く跳ね上がると思います。(この認識はあってますでしょうか?)

ここで一つ疑問に思うことがあるのですが、
例えば、鉄球はバネ定数はかなり大きいと思うのですが、鉄球を落下させた場合と、スーパーボール(ゴム製のよく跳ね上がるボール)を落下させた場合とでは、スーパーボールの方がかなり高く跳ね上がります。

明らかに鉄球の方がバネ定数が大きい(押したときの変形量が鉄球の方が小さいため)のにも関わらず、スーパーボールの方が高く跳ね上がるのはなぜなのでしょうか?
(鉄球の方が、バネ定数に加えて質量も大きいので、衝撃力がはるかに大きいのに、なぜ跳ね上がらないのでしょうか)

もしかして、鉄球の方は減衰力が強く働くからなのでしょうか?すなわち、落下物とバネと地面だけで考えるのではなく、そこにダンパ要素も加えて考える必要があるということでしょうか。

どなたかご教示のほど宜しくお願いします。

落下させようとする物体と地面と落下地点に取り付けられたバネがあるとします。

この場合、落下地点に取り付けられたバネのバネ定数が大きいほど、接触時間が短くなるので衝撃力が大きくなり、その分バネの復元力が強くなり、跳ね返った後、より高く跳ね上がると思います。(この認識はあってますでしょうか?)

ここで一つ疑問に思うことがあるのですが、
例えば、鉄球はバネ定数はかなり大きいと思うのですが、鉄球を落下させた場合と、スーパーボール(ゴム製のよく跳ね上がるボール)を落下させた場合とでは...続きを読む

Aベストアンサー

 補足、承りました。#5他です。

 ちょっと、ご質問のご意図を外してしまい、ここまでの回答でピントはずれになっておりました。大変申し訳ありません。

 仰るように、確かにバネが強いほど、落下物が受ける力は大きくなります。
 ただ、バネが比例定数を変えない範囲で力が加わったとしますと(バネで考えるに、まずそういう仮定でいいでしょう)、バネが強くなるほど、力の強さがバネの縮みに比例して強くなり、短い距離で受け止めます。
 力を距離で積分したものが仕事で、これがバネですと、直線的に力が増えますので、バネが落下物の速度を0にするまでを、縦軸に力、横軸に距離として描くと、三角形になります。この三角形の面積が、力学的エネルギーを表します。

 バネ定数によって、力と距離の関係は変わりますが、落下物の運動エネルギーは同じですから、落下物が落ちてくる距離について、バネの縮みの距離が無視できるとすると、三角形の面積は同じです。もちろん、バネの縮みも考慮すると、計算は複雑になりますが、結局は同じ結果となります。

 そして、縮み切ったバネに溜まった力学的エネルギーが全て物体に返されると、物体は元の位置まで上がります。

 しかし、ここまでで無視してきたものがあります。それは、バネに対して物体が非常に重ければどうなるかということです。

 バネ定数kでx縮んだバネの力に対して、物体の質量と重力加速度の積、つまり重さmgが大きければどうなるかということですね。mg≧kxならどうかということです。

 ここでようやく、ご質問において疑問に思われておられる点に到達したのではないかと思います。
 確かに釣り合いの条件まで静かに物体を置けば、バネが縮む力kxと物体の重さmgが釣り合い、物体は跳ね返されません。
 しかし、これは「静かに置く」という、バネの縮む距離の位置エネルギーを手などの外力で引き受け、バネにその位置エネルギーを与えないということです。

 ここで、バネが縮む距離での位置エネルギーを定性的に考え直す必要が出てきます。

 もしバネとの距離がx=0で置いて離せば、どんな重さの物体でも、バネが縮んで、kx=mgの地点を通り過ぎ、沈み込むだけ沈み込むと、逆方向に帰り、kx=mgの地点を通り過ぎて、x=0まで行き、いつまでも振動します。いわゆる単振動ですね。

 こういう最低限の条件でも、つり合いの長さxについて、mg>kxで止まることはありません。x'>xなるx'までバネは縮みます。

 もし、落下距離が0より大きければ、バネはもっと沈み込み、その分の力学的エネルギーを持ちますので、それを返された物体は元の位置まで放り上げられます。

 補足、承りました。#5他です。

 ちょっと、ご質問のご意図を外してしまい、ここまでの回答でピントはずれになっておりました。大変申し訳ありません。

 仰るように、確かにバネが強いほど、落下物が受ける力は大きくなります。
 ただ、バネが比例定数を変えない範囲で力が加わったとしますと(バネで考えるに、まずそういう仮定でいいでしょう)、バネが強くなるほど、力の強さがバネの縮みに比例して強くなり、短い距離で受け止めます。
 力を距離で積分したものが仕事で、これがバネですと、直線的に力...続きを読む

Q跳ね返り係数を用いた衝突後の時間

高さh 質量mの小球を静かに離した。h,m,g,e (eは0<e<1)で空気抵抗はないとする

それで問題に入ります。

問1 床に衝突する直前の速さv_0と衝突するまでの時間t_0を求めよ

これは エネルギー保存則を使って
mgh = 1/2 mv_0 よってv_0 = √2gh

時間は等加速度運動より、h = 1/2gt_0^2
よって
t_0 = √2h/g

と出してみました。

問2 床に衝突して鉛直上向きに跳ね返った。この時、衝突後のv_1とこの後、2回目に衝突するまでのt_1を求めよ

で前者の問題は
跳ね返り係数から e = v_1/v_0 からv_1=v_0e
よって
v_1 = e√2gh

と出しましたが次の最後のt1の求め方がまったくわかりません。

解答では-v_1 = v_1-gt_1によりという説明でいきなり答えが出ていたのですがこの式の意味がわかりません。

丁寧に教えてもらえますか。それと上記の問題で解答が間違っていたら指摘して下さい。

Aベストアンサー

>-v_1 = v_1-gt_1

 これは、落ちてきた小球が床で跳ね返る時刻を0として、初速v_1で跳ね返り、t_1秒後に落ちて来たときの速度を表しています。上方向を正としています。

 右辺が初速v_1から、下向きの加速度gがt_1秒間働きますから、v_1-gt_1です。左辺は、再び落下してきて二度目の床への衝突直前の速度です。空気抵抗がないことから力学的エネルギーが失われず、速さは跳ね返るときと同じで、向きが下向きであるのえ-v_1です。

 それでも解けますし、別の解法としては最初に上から落としたときと同じやり方でもよいです。空気抵抗がないことから、上から落とすのと、そこまで投げ上げるのは全く対称的な動きになります(具体的には時間を反転すればよい)。

 つまり、投げ上げて落ちてくるまでの時間は、最も高く上がった位置から落としたときの2倍の時間でいいのです。単に落としたときの求め方は、もう解いておられます。それと同じ要領でやり(上がる高さをh_2として、それをv_1で表して解いて行けばOK)、その2倍の時間とすればOKです。

 模範解答の方が早いかもしれませんが、それを思いつかない場合でも、既に分かっていることと似ていないか、同じ形の式が使えないか考えると、解けることも多いですよ。

>-v_1 = v_1-gt_1

 これは、落ちてきた小球が床で跳ね返る時刻を0として、初速v_1で跳ね返り、t_1秒後に落ちて来たときの速度を表しています。上方向を正としています。

 右辺が初速v_1から、下向きの加速度gがt_1秒間働きますから、v_1-gt_1です。左辺は、再び落下してきて二度目の床への衝突直前の速度です。空気抵抗がないことから力学的エネルギーが失われず、速さは跳ね返るときと同じで、向きが下向きであるのえ-v_1です。

 それでも解けますし、別の解法としては最初に上から落としたときと同じやり...続きを読む


人気Q&Aランキング

おすすめ情報