床との衝突による鉄球の運動について教えてください。

床からhの位置に鉄球を配置しストッパ等で位置を固定します。
その状態で鉄球をバネで下方向に押さえ込みます。
(バネ定数k、初期位置でのバネの圧縮量はαmm)

その後ストッパを外すと鉄球はバネに押され床に衝突し何回かバウンド
しながら停止します。

この現象について次を教えてください。
なお、その他の条件は次のとおりです。
鉄球の重さ:m 反発係数:e 
床に接したときのバネの圧縮量:α-h(α-h<自由長)
バネによる荷重は垂直方向のみにかかるものとし
鉄球も垂直方向の運動しか行わない。
バネは鉄球に接着されており離れることはない。

1.ストッパを外し鉄球の位置がhxになったときの速度v(hxは任意の距離 h≧0)及び床に衝突するまでの時間T

2.床へ衝突して跳ね返り後の鉄球の最大到達高さh1とh1になるまでの任意の高さhxでの速度v1

3.跳ね返りが終わり停止するまでの時間および跳ね返り数

エネルギー保存の法則にて↓のような式を作って考えていたのですがよくわからなくなりました。(この式が正しいのか間違っているのかすら自信がありません…)

mgh+1/2kα^2=1/2mv^2+1/2k(α-h)^2

具体的な解き方や回答まで教えていただけると大変助かります。

ややこしい問題ですみませんが、お知恵をお貸しください。

A 回答 (2件)

軽く解いてみましたが計算が少々面倒で途中で止めてしまいました。



考え方としては、
バネに直結していることから、衝突するまで、そして衝突から衝突までの運動は単振動であること。
重力の影響についてはバネの自然長をオフセットして計算しても良い。

ということで計算可能です。
つまり、初期の圧縮量をα→α'=α+mg/kと置き換えて重力を無視して単振動の問題に置き換えてしまえばOKです。

初速度=0ですからこのときの圧縮量が振幅であり、質量m,バネ定数kであることから最初に衝突するまでの圧縮量(自然長からではなく、重力との釣り合いの位置からの圧縮量)をx(t)とすると
x(t)=α'cos{t*(m/k)^0.5}
となります。
速度は、これを微分して
v(t)=-α'(m/k)^0.5×sin{t*(m/k)^0.5}
が得られます。
任意の高さ、hxの時の速度を求めるには、そのときの圧縮量がα'-(h-hx)であることから時間tを求め、それからv(t)を求めればよい。なお、tは逆余弦関数であらわされることになるため注意が必要。
単に速度を求めるだけならエネルギー保存則を用いたほうが簡単ですが、時間を求めるにはこの式を使う他に方法は無いと思います。

衝突後については、速度がe倍になることを利用して解くことになります。

ただ、衝突時の速度が"0"になることはありえないので停止するまでの衝突回数が有限におさまることはありえません。時間は有限になる可能性がありますが跳ね返り回数は無限回となります。(このところはまだ確認していません。)
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床面を0とし、上向きにx座標を取ると


第1回の衝突までの運動方程式は
md^2x/dt^2=-mg
dx/dt=-v0-gt
x=h-v0-gt^2/2
初速度v0はバネの作用時間Δtによって変わってくると思いますが
エネルギーを考えて
mv0^2/2=ka^2/2
でもとめてよいのか検討してください。
衝突後は初速度が+になり、hも変わりますが、基本的には同様の方程式を丹念に解いていくほかないと思います。
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これは エネルギー保存則を使って
mgh = 1/2 mv_0 よってv_0 = √2gh

時間は等加速度運動より、h = 1/2gt_0^2
よって
t_0 = √2h/g

と出してみました。

問2 床に衝突して鉛直上向きに跳ね返った。この時、衝突後のv_1とこの後、2回目に衝突するまでのt_1を求めよ

で前者の問題は
跳ね返り係数から e = v_1/v_0 からv_1=v_0e
よって
v_1 = e√2gh

と出しましたが次の最後のt1の求め方がまったくわかりません。

解答では-v_1 = v_1-gt_1によりという説明でいきなり答えが出ていたのですがこの式の意味がわかりません。

丁寧に教えてもらえますか。それと上記の問題で解答が間違っていたら指摘して下さい。

Aベストアンサー

>-v_1 = v_1-gt_1

 これは、落ちてきた小球が床で跳ね返る時刻を0として、初速v_1で跳ね返り、t_1秒後に落ちて来たときの速度を表しています。上方向を正としています。

 右辺が初速v_1から、下向きの加速度gがt_1秒間働きますから、v_1-gt_1です。左辺は、再び落下してきて二度目の床への衝突直前の速度です。空気抵抗がないことから力学的エネルギーが失われず、速さは跳ね返るときと同じで、向きが下向きであるのえ-v_1です。

 それでも解けますし、別の解法としては最初に上から落としたときと同じやり方でもよいです。空気抵抗がないことから、上から落とすのと、そこまで投げ上げるのは全く対称的な動きになります(具体的には時間を反転すればよい)。

 つまり、投げ上げて落ちてくるまでの時間は、最も高く上がった位置から落としたときの2倍の時間でいいのです。単に落としたときの求め方は、もう解いておられます。それと同じ要領でやり(上がる高さをh_2として、それをv_1で表して解いて行けばOK)、その2倍の時間とすればOKです。

 模範解答の方が早いかもしれませんが、それを思いつかない場合でも、既に分かっていることと似ていないか、同じ形の式が使えないか考えると、解けることも多いですよ。

>-v_1 = v_1-gt_1

 これは、落ちてきた小球が床で跳ね返る時刻を0として、初速v_1で跳ね返り、t_1秒後に落ちて来たときの速度を表しています。上方向を正としています。

 右辺が初速v_1から、下向きの加速度gがt_1秒間働きますから、v_1-gt_1です。左辺は、再び落下してきて二度目の床への衝突直前の速度です。空気抵抗がないことから力学的エネルギーが失われず、速さは跳ね返るときと同じで、向きが下向きであるのえ-v_1です。

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Aベストアンサー

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いきなりですが、同じ表面積を持つ鉄球A(+2.0×10^-5 cの電荷)と鉄球B(-1.6×10^-5 cの電荷)が0.1m離れておいてある。そのとき2つの球を接触させたあと、ふたたび0.1m離した。それぞれの電荷はいくつ? というような問題なんですが、ずっと解いているんですけど、答えがでません。私の中で、鉄球を一度接触させることの意味合いがわかりません。鉄球を接触させているのにはどういう意味があるのかわかる方いらしたらお力貸してください。お願いします。

Aベストアンサー

はじめまして

>静電気の範囲で
>鉄球を一度接触させることの意味合いがわかりません

もしかしたら、tohrutohruさんは0.1m(=10cm)くらいの距離なら火花が飛んで、電荷が中和してしまうとお考えなのでしょうか?

いかに1Fのコンデンサーの例があります。
http://akizukidenshi.com/items.php?cat=cap2&parent=parts
これに1Vの電圧をかければ、1Cの電荷を蓄えることができます。
ご質問の+2.0×10^-5 cの50000倍の電荷では、このサイズで火花が飛ぶことはありません。

空気は絶縁体ですが、非常に高い電圧がかかると「絶縁破壊」を起こし、電気を流します。
静電気では数千から1万ボルト、雷では1~10億ボルトという高い電あるから、電気が流れることができますが、通常では電気は流れません。
10cmの空気が「絶縁破壊」を起こし電気を流すためには、約300,000Vの電圧が必要です。
http://soudan1.biglobe.ne.jp/qa91153.html
http://www4.ocn.ne.jp/~katonet/kagaku/taiden.htm

はじめまして

>静電気の範囲で
>鉄球を一度接触させることの意味合いがわかりません

もしかしたら、tohrutohruさんは0.1m(=10cm)くらいの距離なら火花が飛んで、電荷が中和してしまうとお考えなのでしょうか?

いかに1Fのコンデンサーの例があります。
http://akizukidenshi.com/items.php?cat=cap2&parent=parts
これに1Vの電圧をかければ、1Cの電荷を蓄えることができます。
ご質問の+2.0×10^-5 cの50000倍の電荷では、このサイズで火花が飛ぶことはありません。

空気は絶縁体ですが、...続きを読む

Qバネでつながれた二つの球

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系Sがx軸上で自然長を保ち静止しているとき、時刻t=0にm1に瞬間的に力積を加えて速度v0を与えた。」

というような問題で、(1)の問が

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という問なのですが、考え方が分からなくて困っています。
この後にも

「系Sの重心座標をX(t)、m1に対するm2の相対座標をx(t)として、運動方程式を書き換えよ。」



「系Sの振動の周期Tを求めよ。」

などの問もあるのですが、とにかく始めでつまずいてしまい困っています。
ヒント等でも構わないので、ご回答頂けると嬉しいです。よろしくお願いします。

Aベストアンサー

この問題は式は簡単なんですが考え方が難しいのです。
問題文のどこを見ても「~の大きさの力が加わって」とか「~の加速度で運動した」とかが書かれていないわけです。でも確かに運動をするはずです。バネでつながれているから振動しながら動いていくでしょう。
普通力学で出てくる式よりも簡単なんですが場面は難しいのです。これは私の印象です。
力は#1の回答にあるとおりです。
m2      m1(質量)
x2      x1(位置)
V2      V1(速度)
A2      A1(加速度)
○-----○  (----はバネです)
自然長a、バネ定数k、初速度v0
x1(0)-x2(0)=aです。
(右向きを正に取っています。)

運動方程式は
m1A1=-k(x1-x2-a)
m2A2=k(x1-x2-a)
力はバネが変形しているときに働きます。自然長よりも長くなっているときは物体1には左向きに、物体2には右向きに働きます。初速を右向きに与えているという場合ですからこの表現でいいと思います。これだけなんですが初めてだとけっこう考えるのが難しいです。特に符号が難しいです。(1を左に持ってくる方が逆旅区を与えたというのにうまく合っているように思いますが符号に注意がいります。やって見られるといいと思います。)

2つの式を足してみて下さい。
m1A1+m2A2=0
になります。左辺を(m1+m2)で割ると重心の加速度=0になります。重心は等速度で運動しているという結果になります。外力が働いていないのでこうなります。これは上の運動方程式のチェックになります。
重心の速度をVGとします。
VG=(m1v1+m2v2)/(m1+m2)=m1v0/(m1+m2)
です。ここで初速度v0が出てきます。
物体は振動しながら運動しているはずですが重心の運動が等速度ですから重心に対して振動していると考えられます。そこで重心座標と相対座標に書き換えるという考えが出てきます。相対座標は2つの立場があります。重心に対する相対座標と1に対する2の相対座標とです。2体の場合はどちらでの表現も可能です。

上の式で
A=d^2x/dt^2=A1-A2
を求めると
A=-(1/m1+1/m2)k(x-a)=-k(x-a)/μ
です。μは1と2を合わせて考えるときの有効質量です。「換算質量」といいます。
1/μ=1/m1+1/m2
μ=m1m2/(m1+m2)
です。
質量の項を左辺に持っていくと
μA=-k(x-a)
これはx=aを中心とする単振動になります。
2つの物体の間でだけ力が働いている場合、重心座標と相対座標に変換すると2体問題が一体問題に変わります。人工衛星の運動は地球が止まっているとして考えてよいというのもこれの例です。水素原子の中での電子の運動も重心を止めて考えます。
座標形の書き換えについては力学の教科書に載っているはずです。バネでいきなり出てくるのではないはずです。

運動エネルギーの和の書き換えの質問がこのカテで過去に出ています。

この問題は式は簡単なんですが考え方が難しいのです。
問題文のどこを見ても「~の大きさの力が加わって」とか「~の加速度で運動した」とかが書かれていないわけです。でも確かに運動をするはずです。バネでつながれているから振動しながら動いていくでしょう。
普通力学で出てくる式よりも簡単なんですが場面は難しいのです。これは私の印象です。
力は#1の回答にあるとおりです。
m2      m1(質量)
x2      x1(位置)
V2      V1(速度)
A2      A1(加...続きを読む

Q物理の問題。ばねと鉄球

適当な長さのヒモの一方の端にバネ係数kのバネをつけ、そのバネの何もついていない方の端に質量mの鉄球をつけ、それを滑車を使ってひっぱれるようにします。今の状況 (鉄球-ばね-ヒモ-滑車-ヒモ-)

ヒモの何もついていない方の端から手で大きさFのちからで引っ張り静止させると鉄球でにかかる力はFになります、これが納得できません。あとバネのび太距離をおしえてください

Aベストアンサー

例えば10kgの錘を持ち上げて静止させたときの力は、質量を無視できる「軽い」ひもで持ち上げようが、「軽い」ゴムひもで持ち上げようが、「軽い」コイルバネで持ち上げようが、静止してしまえば同じ98Nです。静止するまでの経過は違いますが。

鉄球についてのつりあい
鉄球の重さ-バネの弾性力(バネが錘を引く力)の大きさ=0

バネの弾性力(バネがひもを引く力)の大きさ=ひもの張力の大きさ 「作用・反作用」
ひもの張力の大きさ=引く力の大きさ 「作用・反作用」

>あとバネのび太距離

バネの伸びならF=kxで計算するだけです。それでわからなければドラえもんを呼んでください。

Q速度Uの水の噴流が速度Vの大きな稼動平板に垂直に衝突する。

速度Uの水の噴流が速度Vの大きな稼動平板に垂直に衝突する。
板の受け取る仕事率Lが最大になるときの、速度比V/Uは?という問題で
答えが1/3になる理由がわかりません。

よろしくお願いします。

Aベストアンサー

単位時間に板に衝突する水の量は、水と板の相対速度 u - v に比例し、単位質量の水が板に与える力積も同じ u - v に比例します。よって、水流が板に及ぼす力積は (u - v)^2 に比例します。いまの場合、仕事率 L = 力 × 速さ ですから、L は
p = (u - v)^2 v
に比例します。p の増減を調べると
dp/dv = - 2 (u - v) v + (u - v)^2
   = (u - v)(u - 3 v)
です。v <= u の範囲だけ考えればよいので、p は v = u / 3 で最大です。よって、求める v/u の値は 1/3 です。

Qなぜ鉄球よりもゴムボールの方が高く跳ねるのか?

落下させようとする物体と地面と落下地点に取り付けられたバネがあるとします。

この場合、落下地点に取り付けられたバネのバネ定数が大きいほど、接触時間が短くなるので衝撃力が大きくなり、その分バネの復元力が強くなり、跳ね返った後、より高く跳ね上がると思います。(この認識はあってますでしょうか?)

ここで一つ疑問に思うことがあるのですが、
例えば、鉄球はバネ定数はかなり大きいと思うのですが、鉄球を落下させた場合と、スーパーボール(ゴム製のよく跳ね上がるボール)を落下させた場合とでは、スーパーボールの方がかなり高く跳ね上がります。

明らかに鉄球の方がバネ定数が大きい(押したときの変形量が鉄球の方が小さいため)のにも関わらず、スーパーボールの方が高く跳ね上がるのはなぜなのでしょうか?
(鉄球の方が、バネ定数に加えて質量も大きいので、衝撃力がはるかに大きいのに、なぜ跳ね上がらないのでしょうか)

もしかして、鉄球の方は減衰力が強く働くからなのでしょうか?すなわち、落下物とバネと地面だけで考えるのではなく、そこにダンパ要素も加えて考える必要があるということでしょうか。

どなたかご教示のほど宜しくお願いします。

落下させようとする物体と地面と落下地点に取り付けられたバネがあるとします。

この場合、落下地点に取り付けられたバネのバネ定数が大きいほど、接触時間が短くなるので衝撃力が大きくなり、その分バネの復元力が強くなり、跳ね返った後、より高く跳ね上がると思います。(この認識はあってますでしょうか?)

ここで一つ疑問に思うことがあるのですが、
例えば、鉄球はバネ定数はかなり大きいと思うのですが、鉄球を落下させた場合と、スーパーボール(ゴム製のよく跳ね上がるボール)を落下させた場合とでは...続きを読む

Aベストアンサー

 補足、承りました。#5他です。

 ちょっと、ご質問のご意図を外してしまい、ここまでの回答でピントはずれになっておりました。大変申し訳ありません。

 仰るように、確かにバネが強いほど、落下物が受ける力は大きくなります。
 ただ、バネが比例定数を変えない範囲で力が加わったとしますと(バネで考えるに、まずそういう仮定でいいでしょう)、バネが強くなるほど、力の強さがバネの縮みに比例して強くなり、短い距離で受け止めます。
 力を距離で積分したものが仕事で、これがバネですと、直線的に力が増えますので、バネが落下物の速度を0にするまでを、縦軸に力、横軸に距離として描くと、三角形になります。この三角形の面積が、力学的エネルギーを表します。

 バネ定数によって、力と距離の関係は変わりますが、落下物の運動エネルギーは同じですから、落下物が落ちてくる距離について、バネの縮みの距離が無視できるとすると、三角形の面積は同じです。もちろん、バネの縮みも考慮すると、計算は複雑になりますが、結局は同じ結果となります。

 そして、縮み切ったバネに溜まった力学的エネルギーが全て物体に返されると、物体は元の位置まで上がります。

 しかし、ここまでで無視してきたものがあります。それは、バネに対して物体が非常に重ければどうなるかということです。

 バネ定数kでx縮んだバネの力に対して、物体の質量と重力加速度の積、つまり重さmgが大きければどうなるかということですね。mg≧kxならどうかということです。

 ここでようやく、ご質問において疑問に思われておられる点に到達したのではないかと思います。
 確かに釣り合いの条件まで静かに物体を置けば、バネが縮む力kxと物体の重さmgが釣り合い、物体は跳ね返されません。
 しかし、これは「静かに置く」という、バネの縮む距離の位置エネルギーを手などの外力で引き受け、バネにその位置エネルギーを与えないということです。

 ここで、バネが縮む距離での位置エネルギーを定性的に考え直す必要が出てきます。

 もしバネとの距離がx=0で置いて離せば、どんな重さの物体でも、バネが縮んで、kx=mgの地点を通り過ぎ、沈み込むだけ沈み込むと、逆方向に帰り、kx=mgの地点を通り過ぎて、x=0まで行き、いつまでも振動します。いわゆる単振動ですね。

 こういう最低限の条件でも、つり合いの長さxについて、mg>kxで止まることはありません。x'>xなるx'までバネは縮みます。

 もし、落下距離が0より大きければ、バネはもっと沈み込み、その分の力学的エネルギーを持ちますので、それを返された物体は元の位置まで放り上げられます。

 補足、承りました。#5他です。

 ちょっと、ご質問のご意図を外してしまい、ここまでの回答でピントはずれになっておりました。大変申し訳ありません。

 仰るように、確かにバネが強いほど、落下物が受ける力は大きくなります。
 ただ、バネが比例定数を変えない範囲で力が加わったとしますと(バネで考えるに、まずそういう仮定でいいでしょう)、バネが強くなるほど、力の強さがバネの縮みに比例して強くなり、短い距離で受け止めます。
 力を距離で積分したものが仕事で、これがバネですと、直線的に力...続きを読む

Q金属球と振り子の衝突について(困り度変更)

申し訳ありません。
早急に知りたくなりましたのどなたか知っている方見えましたらお手数ですが教えてください!!

質量mの金属球が速度vで半径r中心角θ厚さt質量Mの扇柱状の振り子に衝突する際に金属球の衝突後の速度を0にしたい場合に振り子の質量Mの求め方を教えていただけないでしょうか?
非弾性衝突をするものとして、跳ね返り係数eや、振り子の慣性モーメント等が関係してくるのでしょうか?

また、このような形状の振り子の場合、扇の頂点を中心に回動させるとして重心周りの慣性モーメントはどのように求めるのでしょうか?

Aベストアンサー

mv=mx0+Iω  (1)
0-ω=-e(v-0)(2)
という式は変ですね。左辺と右辺で単位が違います。
運動量(mv)と角運動量(Iω)は単位が違います。

(1)について、金属球が振り子のどの部分に衝突するかによりますが、もし、振り子の下端に衝突するとすれば、金属球はmvrの角運動量を持っている、と考えることができます。

(2)について、eは衝突前後の相対速度の比ですから、左辺と右辺は単位が合いません。衝突した部分(振り子の下端)だけに注目すれば、衝突直後の振り子の速度はrωです。

あとは、自分で考えて下さい。


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