床との衝突による鉄球の運動

床との衝突による鉄球の運動について教えてください。

床からhの位置に鉄球を配置しストッパ等で位置を固定します。
その状態で鉄球をバネで下方向に押さえ込みます。
(バネ定数k、初期位置でのバネの圧縮量はαmm)

その後ストッパを外すと鉄球はバネに押され床に衝突し何回かバウンド
しながら停止します。

この現象について次を教えてください。
なお、その他の条件は次のとおりです。
鉄球の重さ：m　反発係数：e　
床に接したときのバネの圧縮量：α－h(α－h＜自由長)
バネによる荷重は垂直方向のみにかかるものとし
鉄球も垂直方向の運動しか行わない。
バネは鉄球に接着されており離れることはない。

1.ストッパを外し鉄球の位置がhxになったときの速度v(hxは任意の距離 h≧0)及び床に衝突するまでの時間T

2.床へ衝突して跳ね返り後の鉄球の最大到達高さh1とh1になるまでの任意の高さhxでの速度v1

3.跳ね返りが終わり停止するまでの時間および跳ね返り数

エネルギー保存の法則にて↓のような式を作って考えていたのですがよくわからなくなりました。(この式が正しいのか間違っているのかすら自信がありません…)

mgh＋1/2kα^2=1/2mv^2+1/2k(α-h)^2

具体的な解き方や回答まで教えていただけると大変助かります。

ややこしい問題ですみませんが、お知恵をお貸しください。

No.1 回答者： spring135 回答日時： 2009/05/25 10:06

床面を0とし、上向きにｘ座標を取ると

第1回の衝突までの運動方程式は
md^2x/dt^2=-mg
dx/dt=-v0-gt
x=h-v0-gt^2/2
初速度v0はバネの作用時間Δｔによって変わってくると思いますが
エネルギーを考えて
mv0^2/2=ka^2/2
でもとめてよいのか検討してください。
衝突後は初速度が+になり、hも変わりますが、基本的には同様の方程式を丹念に解いていくほかないと思います。

No.2 ベストアンサー 回答者： rnakamra 回答日時： 2009/05/25 15:42

軽く解いてみましたが計算が少々面倒で途中で止めてしまいました。

考え方としては、
バネに直結していることから、衝突するまで、そして衝突から衝突までの運動は単振動であること。
重力の影響についてはバネの自然長をオフセットして計算しても良い。

ということで計算可能です。
つまり、初期の圧縮量をα→α'=α+mg/kと置き換えて重力を無視して単振動の問題に置き換えてしまえばOKです。

初速度=0ですからこのときの圧縮量が振幅であり、質量m,バネ定数kであることから最初に衝突するまでの圧縮量(自然長からではなく、重力との釣り合いの位置からの圧縮量)をx(t)とすると
x(t)=α'cos{t*(m/k)^0.5}
となります。
速度は、これを微分して
v(t)=-α'(m/k)^0.5×sin{t*(m/k)^0.5}
が得られます。
任意の高さ、hxの時の速度を求めるには、そのときの圧縮量がα'-(h-hx)であることから時間tを求め、それからv(t)を求めればよい。なお、tは逆余弦関数であらわされることになるため注意が必要。
単に速度を求めるだけならエネルギー保存則を用いたほうが簡単ですが、時間を求めるにはこの式を使う他に方法は無いと思います。

衝突後については、速度がe倍になることを利用して解くことになります。

ただ、衝突時の速度が"0"になることはありえないので停止するまでの衝突回数が有限におさまることはありえません。時間は有限になる可能性がありますが跳ね返り回数は無限回となります。(このところはまだ確認していません。)