No.1ベストアンサー
- 回答日時:
おもしろい問題ですね。
関数 f(n,p) を
1が1個、2が2個、3が3個・・・nがn個の数字の中からp個の数字を使ってできるp桁の自然数の数
と定義すると、問題の答えは f(9,9) ですよね。
で、この関数 f(n,p) について下記の関係が成り立つと思うのですがいかがでしょう。
f(n,p) = Σf(n-1,p-i)*C(p,i) { i=0...min(n,p) } (Cはコンビネーション関数)
f(4,4) を考えると、
f(4,4) = f(3,4)*1 + f(3,3)*4 + f(3,2)*6 + f(3,1)*4 + f(3,0)*1
f(n,0)=1 , f(n,1)=n であることや
f(2,4)=0 , f(2,3)=3 , f(2,2)=3 などから
f(3,4) = f(2,4)*1 + f(2,3)*4 + f(2,2)*6 + f(2,1)*4 = 38
f(3,3) = f(2,3)*1 + f(2,2)*3 + f(2,1)*3 + f(2,0)*1 = 19
f(3,2) = f(2,2)*1 + f(2,1)*2 + f(2,0)*1 = 8
したがって、
f(4,4) = 38 + 19*4 + 8*6 + 3*4 + 1 = 175
これは実際に書き出してみて合っているようでした。
再帰関数でプログラミングすれば f(9,9) も計算できるとは思うけどそれはまたの機会に。
上記の f(n,p) の式が本当に合っているかどうか誰か検証(証明)しれくれませんか。
とんでもない数字になって申し訳ないのですが
お二方とも答えが一致したのできっと正解なんでしょうね
わかりやすい回答ありがとうございました!
No.3
- 回答日時:
>適当に考えた問題なんですがどうやって数えればよいのか
>わかりません
>この問題の解き方を教えてください
計算機を使って解けばよいのです。
求める場合の数は、xの多項式
9!*(1+x)*(1+x+x^2/2!)*(1+x+x^2/2!+x^3/3!)*…*(1+x+x^2/2!+…+x^9/9!)
の展開式におけるx^9の係数になります。
計算ソフトを利用してx^9の係数をもとめてしまえばよいのです。
以下はフリーソフト Risa/Asir にこの計算をさせたときの
入力と出力の結果です。
この結果を見ると、258068893通りあることがわかります。
[0] for(A=fac(9),J=1;J<=9;J++){for(B=0,K=0;K<=J;K++){B+=x^K/fac(K);}A*=B;}coef(A,9,x);
[1] 258068893
>求める場合の数は、xの多項式
>9!*(1+x)*(1+x+x^2/2!)*(1+x+x^2/2!+x^3/3!)*…*(1+x+x^2/2!+…+x^9/9!)
>の展開式におけるx^9の係数になります。
ここのところをもっと詳しく解説してもらいたかったです
回答ありがとうございました
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