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No.2ベストアンサー
- 回答日時:
ポアソン比νは、真歪に対して定義されている概念です。
あなたは、公称歪で話をされているので成り立たないのです。
もし、1軸の応力によって、高さが10mm→20mmになるような変形が発生すると、その時の応力方向の公称歪εnは100%ですが、これに対する真歪εaは、今のような1軸応力が発生している場合には、
εa=ln(1+εn)=ln2=0.693
となります。
この時に発生する横歪εatは、
εat=-ν×εa=-0.5×0.693=-0.347
となります。
真歪を使えば、
0.693-2×0.347=0
となって、体積変化がないことが確認できます。(というか、定義から当たり前なのですが。。。)
ちなみに、横歪εatを公称歪εntに換算すると、
εnt=exp(εat)-1=exp(-0.347)-1=-0.293
となります。要するに、直径は元の10mmから2.93mm縮むだけで、7.07mmになります。5mmにはなりません。
No.1の方の回答で、「ポアソン比とは・・・任意の歪み率に対して成り立つ式ではありません。」という記述は誤りです。
真歪で考えれば、任意の歪に対して成り立ちます。
No.1
- 回答日時:
ポアソン比とは縦歪み率ΔL/Lで横歪み率Δr/rを割ったものの符号を変えたもののΔL/L→0とした極限での値です。
任意の歪み率に対して成り立つ式ではありません。
具体例で説明します。
底面の半径r,長さLの円柱を1%伸ばしたときの変形を考えます。
長さを1%変化させたときのポアソン比を0.5とすると
長さはL→1.01L,半径はr→0.995rとなります。
これをこの状態に対してさらに1%伸ばすと
長さ1.01L→1.0201L,半径0.995→0.990025r となります。
このときの長さの変化率=0.0201,半径の変化率=-0.009975となり、この値から求められるポアソン比は0.49627となり1%の場合のポアソン比と異なってしまいます。
つまり、ポアソン比とは微小なゆがみについて成り立つもので、大きいスケールのゆがみについて直線的に成り立つわけではないのです。
ここをもう少し詳しく言うと、
σ=-(Δr/r)/(ΔL/L)=-(L/r)(Δr/ΔL)
ですが、ポアソン比はこれのΔL→0とした極限となります。
つまり
σ=-(L/r)dr/dL
となります。
σが常に一定だとしてこの微分方程式を解くと
-σ∫dL/L=∫dr/r
-σlnL+C1=lnr→r=CL^(-σ)
と半径rは長さLの指数関数であらわされます。(線形ではない)
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