複数の周波数の波が重なったときRMSはどうやって計算しますか？

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質問者：MASSYY
質問日時：2009/08/01 21:26
回答数：5件

50Hzでも500kHzでもただ一つだけ正弦波がある場合、
そのRMS値はその正弦波のp-0の電圧を√2で割った値となります。
一方で50Hzと500kHzが混在する場合には２つの正弦波のRMS値が
足し合わせの波のRMS値になると思います。

ではホワイトノイズはあらゆる周波数の波（0Hz～∞Hz)の足し合わせとなるわけですが、とするとホワイトノイズのRMS値は∞となってしまうのでしょうか？

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回答 (5件)

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No.2ベストアンサー

回答者： sinisorsa
回答日時：2009/08/02 11:20

RMSの定義は、２乗平均値の平方根。

２つの正弦波の和の形をした信号の場合、周波数比が有理数ならば、
２つの正弦波は直交しますので、それぞれの２乗平均値の和が
その信号の2乗平均値になります。
従って、単純にRMS値の和ではありません。
いったん2乗してから和を求め、それの平方根になります。
周波数比が無理数の場合には、２つの正弦波の和の信号の周期は
無限大になります。このときには、厳密な計算はできませんので、
適当に長い周期を仮定して定義に従って積分を行うことになります。
この場合、直交性が使えません。従って、2乗平均値の和がその信号
の2乗平均値になりません。
さて、ホワイトノイズの場合には、周期的ではありませんし、
成分信号の直交性も使えませんから、定義どおり、
十分に長い時間にわたって２乗平均値を求め、それの平方根です。
これは有限です。いくら時間を延ばしても有限です。

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No.5

回答者： imoriimori
回答日時：2009/08/03 10:08

先の私のコメント訂正します。

よく見たらharagyatei様のご回答も正しいです。周波数範囲と時間範囲とを読み間違えました（深く反省、失礼を陳謝します）。そうなんです、無限周波数まで延びた完璧な白色雑音のRMS値は無限大です。

有理数無理数の話ですが、＃２様ではなく私に聞かれてしまったので、私なりにあえて述べれば（また間違えて恥をかきそうですが）、加算波形が有限周期で繰り返すか否かということです。有限周期で繰り返すなら定義通りにRMS値を計算できる。繰り返さないならちょっと面倒になるということわけで。

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No.4

回答者： imoriimori
回答日時：2009/08/02 21:10

錯綜した答えが出ていますが、＃２のsinisorsa様のみが真実だと思われます。

人様の回答を批評すべきでないのは承知ですが、このままでは質問者様が？？？となってしまいますので、あえて私見を次のように記します。（不適切でしたら削除を希望します）
＃１様の標準偏差がRMS値と同じであるというのは正しいですが、ノイズがホワイトであるかどうかは原信号値の頻度分布がガウシアン分布か否かには無関係なはずです。時々刻々の値が他の時刻の値と挙動相関するかしないかが有色か白色かの分かれ道ですので。
＃３様のホワイトノイズのRMSが無限というのもおかしいようです。RMSというのは時間当たりの平均パワーを問うことから出発しますから、期間が無限大でもRMSは無限大にはならず一定の値に収束するだけのはずです。

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この回答へのお礼

ありがとうございます。

でも、No2さんの回答で有理数だと足し算出来て、無理数だと足し算出来ないという理由というか原理が分かりません。
なぜ有理数・無理数で境目が出来るのでしょうか？

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お礼日時：2009/08/03 09:27

No.3

回答者： tance
回答日時：2009/08/02 11:40

理想的なホワイトノイズはその周波数帯域が無限大という

だけではなく、信号の出現頻度がガウシャン分布に従う
必要があります。

詳しく証明するのは面倒ですが、結論は標準偏差がRMSと
等しくなります。

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No.1

回答者： haragyatei
回答日時：2009/08/01 21:48

ホワイトノイズは現実には理論通りのものは存在しません。

なぜならRMSが無限大になるからです。普通考えている範囲より十分帯域が広いときにホワイトノイズと考えます。これは周波数範囲が有限なので有限のRMSです。理想的なホワイトノイズはRMSが無限となってが正しいです。

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http://media.maxim-ic.com/images/appnotes/3642/3642Fig01.gif

よくスペック表にノイズ電圧が書かれていますが、例えば
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２番目の質問から推測すると、JAICAさんの測定したノイズスペクトルには平坦部分がないので Vn が求められないということだと思います。図１のようなスペクトルなら平坦部分が Vn ですが、図２のように平坦部分がない場合は Vn を求めることはできません。

　↑
　│＼　　　　　　　／
　｜　　＼＿＿／＿ Vn
　｜＿＿＿＿＿＿＿
　　　　　周波数　　　　　　図１

　↑　　　　／＼
　│＼　／　　　＼／
　｜
　｜＿＿＿＿＿＿＿
　　　　　周波数　　　　　　図２

>数値積分する方法をとると思うのですが、その計算方法を教えて下さい。
例えば、図３のようなノイズ電圧密度スペクトル（単位がV/√Hz）があったとします。

ノイズ密度
[V/√Hz]
　↑　　　　　　　・　・
　│　　　　・
　｜　・　・
　｜＿＿＿＿＿＿＿
　　　f1 f2　　　　　f6　　　　　図３

このスペクトルが周波数 f の関数として
　　　V = g(f)
で表わされるとき、fmin～fmaxの範囲でのノイズ電圧の実効値 E [Vrms] は
　　　E = √{∫[fmin～fmaxx] g(f)^2 df }
となります。つまり、ノイズ密度電圧を2乗したスペクトル g(f)^2 を fmin～fmax の範囲で積分して√をとったのが E になります。実際には、g(f) が簡単な関数で表わされることはないので、以下のように数値的に積分すればいいでしょう。

周波数 f1 のときのノイズ密度が N1、f2 のとき N2 というふうになっていて、全体でn点あるとします。このとき、f1 ～ fn の周波数範囲でのノイズ電圧の実効値 E は
　　　E ≒ √[ { ( N1^2 + N2^2 )*( f2 - f1 ) + ( N2^2 + N3^2 )*( f3 - f2 ) + ・・・ + ( N(n-1)^2 + Nn^2 )*( fn - f(n-1) ) }/2 ]
と近似できます（台形公式）。例えば、以下のようなデータがあったとします。

周波数[Hz]　ノイズ[nV/√Hz]
　　1　　　　　　1.1
　　2　　　　　　1.3
　　5　　　　　　1.5
　10　　　　　　2
　20　　　　　　3
　50　　　　　　4
100　　　　　　3
200　　　　　　2
500　　　　　　1.5
1000　　　　　1

周波数が Excel のＡ列、ノイズ密度[V/√Hz]がＢ列に書かれているとき、C列で ( N1^2 + N2^2 )*( f2 - f1 ) などを計算して、C10のセルでC列の和を計算します。

　　　　　A　　　　　　B　　　　C
1　　　　1　　　　　　1.1　　=(B1^2+B2^2)*(A2-A1)
2　　　　2　　　　　　1.3　　上式をC2～C9までコピー&ペースト
3　　　　5　　　　　　1.5
4　　　10　　　　　　2
5　　　20　　　　　　3
6　　　50　　　　　　4
7　　100　　　　　　3
8　　200　　　　　　2
9　　500　　　　　　1.5　　ここまでペースト
10　1000　　　　　 1　　　=SQRT(SUM(C1:C9)/2)　← これが √（C列の和/2）＝ノイズ電圧実効値
　　　　　　　
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>遮断周波数とはシステム応答の限界であり、それを超えると減衰する。
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#1です。
A#1の補足の質問の回答

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もちろん一致します。でもσが無限大のガウスノイズは、現実には実現不可能です。

> この標準偏差が無限のときに、
狭い周波数帯では平坦に見えるということからホワイトノイズと呼ばれるという説明で合っていますでしょうか？
無限は思考的な理論の世界の表現で、現実には無限の周波数は作れませんし、その測定器も存在しません。もしσが無限大のガウス雑音が出来たとしたら、ホワイトノイズと区別できないでしょう（ガウスノイズはσ無限大の極限ではホワイトノイズは一致します）。

別に標準偏差が無限大でなくても、扱うスペクトルの周波数帯で平坦なスペクトル（と見えている）ならホワイトノイズとして扱って良い（見做して良い）でしょう。あくまでも擬似的なホワイトノイズであって、ホワイトノイズそのものではありません。
たとえば、音声などの可聴周波数帯（50Hz～20kHz位）の信号を扱う場合は標準偏差σが100kHz以上のガウス雑音を擬似的なホワイトノイズとして扱って良いでしょう。このσのガウス雑音のスペクトルの大きさ（振幅）は可聴周波数帯のf=0～20KHzの範囲ではほとんど平坦なので、σ=100kHzのガウス分布のガウス雑音は可聴周波数帯ではホワイトノイズの代用として使えるでしょう（この意味で擬似ホワイトノイズです）。同じホワイトノイズ発生器を、帯域100kHzの周波数計測器の雑音源としては全くホワイトノイズの役目をしません。あくまでガウスノイズに過ぎません。

フーリエ積分（変換）を学んで見えるなら、
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一方、振幅が無限大、幅ゼロのパルス（ディラックのデルタ関数δ(t)）の）のフーリエ変換はフラットなスペクトルになります。しかし、現実には、振幅が無限大、幅ゼロのパルスは作れません。
デルタ関数と見做せる大きな振幅と幅の狭いパルスは作れます。これらのパルスを時間間隔を蜜に発生させた信号源（雑音源）が擬似的なホワイトノイズ発生器ということですね。

なお、真の意味のホワイトノイズ発生器は製作不能です。製作できてもそれがホワイトノイズ発生器であることを確認する測定器も作れないし存在しませんね。あくまで理念的な空想の産物ですね。