数列の問題

次の問題が本にのってるのですが、答えがありませんでした。解法と答えを教えてもらえるとうれしいです！
　（問）分数列 1/2,2/3,1/3,3/4,2/4,1/4,4/5,3/5,2/5
,1/5,5/6,・・・
　　について、
　(1)18/25は初めから数えて第何項目にあるか。
　(2)初めから数えて第６６６項目にある分数は何か。
　(3)初項から第６６６項目までの和を求めよ。
問題数が多いですが、よろしくお願いします。

No.4 回答者： fushigichan 回答日時： 2003/04/09 11:39

pink-fairyさん、こんにちは。

この問題は質問No.515675のti-zuさんのご質問と一緒ですね。
私も回答していますので、コピーしてきましたので参考にしてください。

＞分数列１／２，２／３，１／３，３／４，２／４，１／４，４／５・・・について


まず、この分数列を、群に区切って考えてみましょう。
分母が同じものを、同じ群だと考えてみると、
1/2|2/3,1/3|3/4,2/4,1/4|4/5,3/5,2/5,1/5|・・・
↑
このように、分母が同じもの同士で区切ってみます。
すると、第１群は、1/2だけで、個数は１個
第２群は、2/3,1/3の個数が２個
第３群は、3/4,2/4,1/4の個数が３個という群になっています。

つまり第ｎ群の個数は、ｎ個ということがいえます。
また、第ｎ群のｍ番目は
(n+1-m)/(n+1)
という分数で表されます。

＞(1)18/25は初めから数えて第何項目にあるか

第ｎ群のｍ番目の分数が
(n+1-m)/(n+1)
と表せるので、この分数は、第２４群の７番目の分数である。
第２３群までの、分数の総和は、
第１群・・１個
第２群・・２個
・・・・
第２３群・・・２３個なので、
１＋２＋３＋４＋・・・＋２３＝２７６
よって、ここから７番目なので
２７６＋７＝２８３
最初から数えて２８３番目だということが分かると思います。


＞(２）初めから数えて第６６６項目にある分数は何か

さて、この分数列の第６６６項は、上で区切った郡の
第ｎ群に含まれるとすると、
1+2+3+・・・+(n-1)<666≦1+2+3+・・+(n-1)+n

となることは、いいでしょうか。
この式を簡単にすれば、
n(n-1)/2<666≦n(n+1)/2
n(n-1)<666*2≦n(n+1)
ｎに適当な数字を入れてみましょう。
n=36のとき、
３６・３５＜６６６×２≦３６・３７
なので、n=36
このとき、３６・３７＝１３３２なので、第６６６項目は
群数列の第３６群の３６番目であることがいえます。

第３６群の分母は、３７なので、その３６番目は
1/37
となります。

＞(３）初項から第６６６項までの和を求めよ

第ｎ群のみの和を考えてみましょう。
n/(n+1) +(n-1)/(n+1) +・・・+2/(n+1)+1/(n+1)
=1/(n+1){n+(n-1)+・・・+2+1}
=1/(n+1)*n(n+1)/2
=n/2
となるので、第n群のみの和は、n/2となります。

今、求める第６６６項目は、第３６群のラストの分数なので
求める総和は、
Σ(k=1,36)k/2=36*37/4=333

No.3 回答者： kony0 回答日時： 2003/04/08 23:28

これと同じ問題ではないですか？

参考URL：http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=515675

No.2 回答者： springside 回答日時： 2003/04/08 23:28

群に分けてみましょう。

第１群：1/2
第２群：2/3, 1/3
第３群：3/4, 2/4, 1/4
第４群：4/5, 3/5, 2/5, 1/5
・・・・
第ｋ群：k/(k+1), (k-1)/(k+1), (k-2)/(k+1), ・・・

となりますね。

第１群には１個、第２群には２個、第３群には３個という形になっています。第ｋ群の最初の項は、（第ｋ－１群までの項数＋１）項目なので、1+2+3+・・・+(k-1)+1=k(k-1)/2 + 1項目になります。
以上の準備をした上で解きます。

(1)
18/25は、第２４群（∵分母が25だから）の中にある。第２４群の最初の項は、上記でk=24として、第２７７項目である。つまり、24/25が第２７７項目なので、18/25は、第２８３項目

(2)上記で、k(k-1)/2+1=666と置くと、k^2-k-1330=0となる。これは整数解を持たないが、k=36とかk=37ぐらいと見当を付けてみる。
k=36のとき、k(k-1)/2+1=631
k=37のとき、k(k-1)/2+1=667
となるので、第６６７項目は、第３７群の最初の項で37/38である。よって、第６６６項目は、（その１つ前の項、つまり、第３６群の最後の項なので）1/37である。

(3)
上記(2)より、第６６６項目は、第３６群の最後の項。
だから、第１群から第３６群までの和を求めればよい。
第k群の和は、
k/(k+1) + (k-1)/(k+1) + (k-2)/(k+1) + ・・・ +1/(k+1)であり、これの分子は1からkまでの和なのでk(k+1)/2。よって、この和はk/2。
これにk=1からk=36を代入して加えてやればよい。
よって、1/2 + 2/2 + 3/2 + 4/2 +・・・+36/2となり、これの分子は1から36までの和なので36*37/2=666である。よって、答えは666/2=333

No.1 回答者： may-may-jp 回答日時： 2003/04/08 22:33

分母と分子を分けて考えるといいですよ。