牛、豚、鶏、どれか一つ食べられなくなるとしたら?

行列A(2×2)は線形空間Vの標準基底{e1=(1,0)t , e2=(0,1)t}に関する線形変換fの表現行列である。行列Aの固有ベクトルの組{p1,p2}を線形空間Vの基底としたとき、この基底に関するfの表現行列Bを求めよ。


という問題なのですが、どういった手続きで求めればいいのか全くわかりません。
Bを
B=(a b)
   (c d)
などとおいて、
{e1,e2}A={p1,p2} B
を満たすようにBを求めればいいのでしょうか?


ご教示よろしくお願いいたします。

A 回答 (3件)

ある点Qを標準基底で表した座標をxとする。


点QがfによってRに変換されたとすると
Rの標準基底で表した座標yは次の様になる。
y=Ax
点Qを固有ベクトル基底で表した座標をx'とすると
x=[p1 p2]x'
であり
点Rを固有ベクトル基底で表した座標をy'とすると
y=[p1 p2]y'
である。
以上から
[p1 p2]y'=A[p1 p2]x'
すなわち
y'=[p1 p2]^-1A[p1 p2]x'
すわなち
y’=
[λ1 0]x’
[0 λ2] 
すなわち
B=
[λ1 0]
[0 λ2] 
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B の成分を A と p1, p2 で表示するには、


λ1 = | A p1 | / | p1 |,
λ2 = | A p2 | / | p2 |.
でも使えばよいかな。
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ただし、


Aの固有値をλ1,λ2とし
λ1の固有ベクトルをp1とし
λ2の固有ベクトルをp2とする。
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