表現行列について

行列Ａ(2×2）は線形空間Ｖの標準基底{e1=(1,0)t , e2=(0,1)t}に関する線形変換fの表現行列である。行列Ａの固有ベクトルの組{p1,p2}を線形空間Ｖの基底としたとき、この基底に関するｆの表現行列Ｂを求めよ。


という問題なのですが、どういった手続きで求めればいいのか全くわかりません。
Ｂを
Ｂ＝(a b)
　　　(c d)
などとおいて、
{e1,e2}Ａ={p1,p2} Ｂ
を満たすようにＢを求めればいいのでしょうか？


ご教示よろしくお願いいたします。

No.1 ベストアンサー 回答者： reiman 回答日時： 2009/08/17 23:01

ある点Qを標準基底で表した座標をxとする。

点QがfによってRに変換されたとすると
Rの標準基底で表した座標yは次の様になる。
y=Ax
点Qを固有ベクトル基底で表した座標をx'とすると
x=[p1 p2]x'
であり
点Rを固有ベクトル基底で表した座標をy'とすると
y=[p1 p2]y'
である。
以上から
[p1 p2]y'=A[p1 p2]x'
すなわち
y'=[p1 p2]^-1A[p1 p2]x'
すわなち
ｙ’＝
［λ１　０］ｘ’
［０　λ２］　
すなわち
Ｂ＝
［λ１　０］
［０　λ２］　

No.3 回答者： arrysthmia 回答日時： 2009/08/19 00:18

B の成分を A と p1, p2 で表示するには、

λ1 = | A p1 | / | p1 |,
λ2 = | A p2 | / | p2 |.
でも使えばよいかな。

No.2 回答者： reiman 回答日時： 2009/08/17 23:13

ただし、

Ａの固有値をλ１，λ２とし
λ１の固有ベクトルをｐ１とし
λ２の固有ベクトルをｐ２とする。