ぜんぜんわからない数列！

a1=９９９００　ｎ≧２のとき

a1+a2+・・・・+an=nの2乗・anとする
このときa999を求めよ

という問題がぜんぜんわかりません。

解き方を教えてほしいです。

答えは１/５だそうです。

No.3 回答者： arrysthmia 回答日時： 2009/08/21 20:16

型どおりの問題です。

型どおりに処理すれば、
悩む余地はありません。

a[1]+a[2]+…+a[n] = (n~2) a[n] と
a[1]+a[2]+a[n-1] = ((n-1)~2) a[n-1] を
引き算して、
a[n] = (n~2)a[n] - ((n-1)~2)a[n-1] 。
この式を移項・整理して、
a[n] =｛(n-1)~2 / (n~2 - 1)｝a[n-1] 。
約分して、
a[n] = ｛(n-1)/(n+1)｝a[n-1] 。
これが、a[ ] の漸化式です。
n = 999, 998, 997, …, 2 で順にあてはめてみると、
a[999] =｛(2・1)/(1000・999)｝a[1]
であることが解ります。

No.2 回答者： sono0315 回答日時： 2009/08/21 19:46

a2を求めてみましょう。

a1+a2=2^2×a2
99900+a2=4a2
よってa2=33300

a3を求める
a1+a2+a3=3^2*a3
99900+33300+a3=9a3
よってa3=16650

そうするとaの数列は
a={99900,33300,16650,9990,6660…}

つまり
a1=(1/1)a1
a2=(1/3)a1
a3=(1/6)a1
a4=(1/10)a1

このようにa1を1で割ったもの、1+2で割ったもの、1+2+3で割ったもの
が続いていくので、a999項目はa1を(1+2+…+999)で割ったものです

1～999までの和は499500

よって
a999=99900/499500=1/5

No.1 回答者： sotom 回答日時： 2009/08/21 19:44

ヒント：S(n)=a1+a2+・・・・+anとします。

S(n)-S(n-1)=anを使いましょう。

これぐらいは常道です。