
半径(r)から求める円の断面二次モーメントがわかりません。
直径(D)から求める場合は
dA=π(D/2+dD)^2-π(D/2)^2
=πDdD
I=∫y^2dA=∫πD^3dD=πD^4/64
となるのは理解しました。
D/2=r
なので
上記の結果から
I=πr^4/4
になるのもわかります。
しかし、rからもとめる場合
dA=π(r+dr)^2-π(r)^2
=2πrdr
I=∫y^2dA=∫2πr^3dr=πr^4/2
となってしまいます。
Ip=Ix+Iy
Ix=Iy
なので
Ix=Ip/2
=(πr^4/2)/2
=πr^4/4
となる。
rの場合に上記の理由で1/2するのならば、Dの場合1/2もするのではないのでしょうか?
しかし、Dの場合は1/2すると答えはかわってしまうので1/2しない。
ここがわかりません。
なぜ?
断面二次極モーメントだからと書いてあったのですが、この言葉も知りません。
お願いします。
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
>半径(r)から求める円の断面二次モーメントがわかりません。
まず断面二次モーメントには2種類あります。ひとつは
「断面の図心を通るx軸やy軸に対する断面二次モーメント」
で、IxやIyと書きます。Ixを求めるには、断面をx軸に平行に切り刻んだ面積をdA、
x軸からそこまでの距離をyとすると、Ix=∫y^2dAとなります。
IxやIyは長方形断面なら求めやすいのですが、円形断面のときはIx(=Iy)を求める
のが面倒なので、もうひとつの、「断面の図心に対する断面二次“極”モーメント」
を先に求めます。これはIpと書きますが、常にIp=Ix+Iyの関係があることを
利用するのです。Ipの定義は、断面を同心円状に切り刻んだ面積をdA、図心から
そこまでの距離(半径)をrとすると、Ip=∫r^2dAとなります。
大事なのは先程とdAの中身が違うということです。ですから、
> I=∫y^2dA=∫πD^3dD=πD^4/64
この書き出しを見て、両者を混同されているのではないかと思いました。また、
> dA=π(D/2+dD)^2-π(D/2)^2
> =πDdD
これもちょっと違います。詳しくは以下を参考にしてください。ちなみに円の面積Aを、A=f(r)=πr^2で表しています。
[rで解く場合]
dA=f(r+dr)-f(r)
=π(r+dr)^2-πr^2
=2πrdr
Ip=∫ r^2 dA
=∫ 2πr^3 dr (積分範囲0~r)
=πr^4/2
ここにr=D/2を代入すると
=πD^4/32
[Dで解く場合]
dA=f((D+dD)/2)-f(D/2)
=π((D+dD)/2)^2-π(D/2)^2
=(πD/2)dD
Ip=∫ (D/2)^2 dA
=∫ πD^3/8 dD (積分範囲0~D)
=πD^4/32
となり、一致しました。しかしrを使ったほうが途中が分数にならないため楽です。
最後に断面二次モーメントIx,Iyは、
Ix=Iy=Ip/2=πr^4/4=πD^4/64
わからなければ補足して下さい。
No.2
- 回答日時:
>Ix=Iy=Ip/2
>この式はこうゆうものだととして覚えるだけなのでしょうか?
簡単なので理屈を覚えたほうがいいと思います。
この式は、最初のご質問文にも書かれているとおり
Ip=Ix+Iy ・・・(1)
Ix=Iy ・・・(2)
の二つから導かれます。
このうち(1)は、それぞれの定義式:
Ip=∫r^2dA
Ix=∫y^2dA
Iy=∫x^2dA
と、三平方の定理:
r^2=x^2+y^2
から常に成り立ちます。
一方(2)が成り立つのは
円形断面や正方形断面など特殊な断面形状のときだけです。
(とりあえず90度回しても変わらない図形ならOK。)
よって最初の式が成り立つかどうかは(2)に依存します。
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