行列（固有値と固有ベクトル） (1)固有値が√の固有ベクトル

数学の行列の固有値と固有ベクトルの問題ですが、
（１　　３）
（２　－１）
の固有値と固有ベクトルを求めたいのですが
d（λ－１　　－３）
e（－２　　λ＋１）
t

(λ-1)(λ+1)-(-3)(-2)=0
λ^2 -1-6=0
λ^2 -7=0
λ=±√7
と固有値が出ると思うのですが、固有ベクトルを求める時、λ=√7の時、
（λ－１　　－３）（ｘ１）　（０）
（－２　　λ＋１）（ｘ２）＝（０）のλに√7を代入すると、

（√７　－１　　　　－３）（ｘ１）　（０）
（－２　　　　√７　＋１）（ｘ２）＝（０） になって、
固有ベクトルをどう求めるのかがわかりません。
√以外だと、左上を１にして求めていけばいいと思うのですが・・・

No.1 回答者： naniwacchi 回答日時： 2009/08/30 13:59

√が出てきても、数字として扱えばよいのです。

行列のままで計算をしようとせず、連立方程式の形にばらしてみるのも一つの方法です。
（√７　－１　　　　－３）（ｘ１）　（０）
（－２　　　　√７　＋１）（ｘ２）＝（０）

ここから得られる連立方程式の2式は同じ式となり、解が無数となります。
そのとき与えられている直線の方向ベクトルが固有ベクトルになります。

つまりは、得られる(x1,x2)の式を得て、それを直線の方程式とみればいいのです。
2式が同じ式になるということは、変形をすれば同じ式になるということです。（√があるので、分母の有理化などを使うと思います。）

この回答への補足

－２ｘ１＋（√７＋１）ｘ２＝０
↓
（１/２　　　　　）
（１/（√７＋１））→有利化
（１/２　　　　　）
（（√７－１）/６）→
（１　　　　　　　）
（（√７－１）/３）ということでしょうか？

補足日時：2009/08/30 16:44

No.2 回答者： info22 回答日時： 2009/08/30 13:59

> 固有ベクトルをどう求めるのかがわかりません。

> √以外だと、左上を１にして求めていけばいいと思うのですが・・・
√があっても同様に(√7-1)で割って「左上を１にして求めていけばいい」
ですよ。そうすると
固有ベクトル(1,(√7-1)/3)^t
が導出できます。なお、「( )^t」は転置で列ベクトルとしています。

この回答への補足

なるほど！
（√７－１　　　　　－３）（ｘ１）
（－２　　　　　√７＋１）（ｘ２）→
（１　　－３/（√７－１））（ｘ１）
（－２　　　　　　√７＋１）（ｘ２）→
（１　　－３/（√７－１））（ｘ１）
（０　　　　　　　　　　０）（ｘ２）で、

α（１　　　）
　（（√７－１）/３）　
ということですね？

補足日時：2009/08/30 16:14

No.3 回答者： sono0315 回答日時： 2009/08/30 15:23

ちなみに数値計算の結果です

-->A=[1 3; 2 -1];

-->[B C]=spec(A);

-->B
B =

0.8767397 - 0.6354064
0.4809652 0.7721779

-->C
C =

2.6457513 0
0 - 2.6457513


Cが固有値で表した対角行列λ1とλ2
Bの1列目がλ1のときの固有ベクトル、2列目がλ2のときの

この固有ベクトルは正規化がされています。
確認にでも使ってください

No.4 回答者： arrysthmia 回答日時： 2009/08/30 18:22

左上を1？ 何だろう？

普通に、x1=1 とすれば
いい
と思うけど。
一行目から簡単に x2 が求まる。
その後で、固有ベクトルの各成分が
「きれい」になるように、適当に
定数倍してもよいし、
そのまま放っておいてもよい。
それだけ。

No.5 ベストアンサー 回答者： info22 回答日時： 2009/08/30 21:10

#2です。

A#2の補足の回答
> α（１　　　）
> 　（（√７－１）/３）　
> ということですね
そうです。

固有ベクトルは、αは何でもいいですから、適当に定めていいですね。
たとえば
α=1でも３などいずれでもいいですね。

同様にλ=-√7に対する固有ベクトルは
β（１　　　）
　（－(√７+１）/３）
ですね。
β＝１でも－１でも３でもいずれでもいいですね

この回答へのお礼

丁寧なご回答ありがとうございます。
お世話になりました。

お礼日時：2009/09/01 22:52