ノイズをフィルタに通した後の減衰について

現在、MATLAB simulinkというソフトを用いてcolored noiseを作ろうとしています。
作成法としては、まず、rundom関数を用いて、平均値0、分散1、サンプル時間を0.00002（サンプリング周波数50kHz）と設定し雑音を作っています。この時の標準偏差の値は1となっています。
それを、5.3倍に増幅し、一次のローパスフィルタを通しました。カットオフ周波数は10kHzです。その後、標準偏差を調べてみたところ、約4.0となりました。
また、分散を2にした時、つまり初期値の標準偏差を約1.4にした時、同じ条件でローパスフィルタ後の標準偏差は約5.6となりました。シミュレーション上こうなったのでこの値を信用しようと思っています。
しかし、今これを計算で求めたいと思っています。
何か公式のようなものはあるのでしょうか？ネットで色々調べてみたのですが、分からなかったのでこちらに投稿させていただきました。
どなたかご存知の方いらっしゃいましたら、教えていただけると幸いです。

No.2 ベストアンサー 回答者： sinisorsa 回答日時： 2009/09/07 13:50

（１）基本帯域が０～２５ｋHzのわけ

シャノンのサンプリング定理と離散時間信号のフーリエ変換に関係します。
サンプリングするとき、サンプリング周波数を信号の上限周波数の２倍以上にします。
逆にいうと、サンプリング周波数の２分の１が信号の
上限周波数となります。
離散時間信号x(n)のフーリエ変換は、
X(exp(jω))=Σ[－∞～∞]x(n)exp(-jωｎ)
となります。式からすぐに、これはωの周期関数でその周期は２πです。
そこで、基本帯域は、［－π，π］となりますが、通常は周波数は
正の側だけ考えます。ωはサンプリング周波数で規格化した角周波数ですから、
２πがサンプリング周波数で、πがその２分の１に対応します。
従って、基本帯域は０～２５ｋHzとなるのです。
（２）ローパスフィルタと係数
ローパスフィルタが１次で、カットオフ周波数で－３ｄBの減衰という条件なら、
関係を式で表せそうですね。なお、減衰域の傾斜は－６ｄＢ／オクターブです。
フィルター通過後の雑音の分散が理想ローパスフィルタの場合より
大きい理由がわかりました。係数の求め方の方針だけ書きましょう。
１次のローパスフィルタの周波数特性は
Ｈ（exp(jω))＝ｂ／｛１－ａ・exp(-jω)｝
ω＝０のときＨ（exp(jω))＝１とすると、ｂ＝1-ａ
係数ａはカットオフ周波数から求められます。
このようにして求められた周波数特性の絶対値の２乗を
０からπで積分し、πで割ると、係数が求められます。

No.5 回答者： sinisorsa 回答日時： 2009/09/07 21:58

補足します。

試しに、#4での双一次変換による方法で１次のディジタルフィルタを
作って、このフィルタの出力ノイズの標準偏差を求めてみました。
結果は、あなたの4.0にかなり近い値になりました。（3.989)
多分、matlabで作ったローパスフィルタはアナログフィルタに基づいて
双一次変換によりディジタルフィルタに変換する方法のようです。
（もっと正確には、カットオフ周波数のプレワープも入れて）
この推測に基づいて、補正係数を計算してみました。
カットオフ周波数,標準偏差の補正係数
2kHz, 0.472
5kHz, 0.625
6kHz, 0.658
7kHz, 0.686
8kHz, 0.710
9kHz, 0.732
10kHz, 0.753
11kHz, 0.771
12kHz, 0.789
13kHz, 0.806
14kHz, 0.822
15kHz, 0.837

この回答へのお礼

返事が送れてすみません。
sinisorsaさんの言うとおり双一次変換によるディジタルフィルタ
に変換する方法のようですね。
シミュレーション結果も、求めていただいた補正係数でかけた値と同じになりました。
まだまだフィルタに関しては無知ですが、これから勉強し理解していきたいと思います。
ありがとうございました。

お礼日時：2009/09/09 00:55

No.4 回答者： sinisorsa 回答日時： 2009/09/07 21:30

１次のディジタルフィルタの特性(伝達関数)は、

H(z)=(b0 + b1・z^(-1))/(1-a1・z^(-1))
となります。
分子のｚの多項式が０となるｚのことを零といいます。
同じく分母のｚの多項式が０となるｚのことを極といいます。
極においては、分母が０になりますから、H(z)は無限大になり、
零においては、分子が０になりますから、H(z)は０になります。
上の式は、極も零も存在する形ですので、極零型といいます。
b1＝０のときには、零が存在しませんので、全極型といいます。
この辺の話は、もっと次数の高い場合について、ディジタル
信号処理の大抵の教科書にありますので、調べてみてください。
さて、フィルタについて、あまりご存じないとすると、
matlabで使ったローパスフィルタがどのようなものだったのか
ちょっと心配です。
また、あなたの研究で、使いたいcolored noiseの周波数特性
がどのようなものなのか。1次フィルタでよいのか
など、心配になります。減衰の傾斜が緩いものでよいのでしょうか。
1次フィルタの設計の方法として、アナログの1次フィルタ
H(s)＝a／（s+a)
ただし、a=2πFc　（Fcはカットオフ周波数）
を双一次変換でディジタルフィルタに変換する方法があります。
この辺の話がわかればよいのですが。

No.3 回答者： sinisorsa 回答日時： 2009/09/07 14:51

＃１，２です。

ローパスフィルタを全極型１次フィルタでは、カットオフ周波数が
少し大きくなると、高域の減衰量が少なくなります。
（ちょっとやってみました）
あなたの使ったローパスフィルタは、極零型ですか。

この回答へのお礼

とても分かりやすい説明ありがとうございます。
大変申し訳ないのですが、全極型と極零型の違いが分かりません。
フィルタに関してはあまり知識がなく、ネットで探してみましたがよく分かりませんでした。
何度もお願いすることになり恐縮ですが、もしよろしければ全極型と極零型の違いについて詳しく説明していただいてもよろしいでしょうか？

お礼日時：2009/09/07 20:23

No.1 回答者： sinisorsa 回答日時： 2009/09/06 23:17

ローパスフィルタの減衰が理想的とすると、

基本帯域が２５ｋHz,通過域が１０ｋHzですから、
信号の平均エネルギーは、１０／２５倍になります。
元の信号の平均エネルギーは、振幅を５．３倍しているので、
５．３＾２＝２８．０９（これは信号の分散に等しい）
従って、フィルタ通過後の平均エネルギーは、
２８．０９×１０／２５＝１１．２３６（フィルタ通過後の信号の分散）
標準偏差はこれの平方根で、約３．３５２となります。
あなたの使ったローパスフィルタは理想フィルタではないので、
カットオフ以上の周波数成分が一部通過していますので、
この数字より大きくなると思います。
ローパスフィルタのタイプ、減衰量、減衰域の傾斜などを変えたら、
標準偏差は変わると思います。試してみてください。

この回答へのお礼

お早い返事ありがとうございます。
基本帯域が25kHzとなっておりますが、今回ランダム信号のサンプリング周波数は50kHzですが、なぜ基本帯域は25kHzとなるのでしょうか？
もしよろしければ教えていただいてもよろしいでしょうか？
また、ローパスフィルタのタイプは一次なのですが、どのように傾斜量を考えればよろしいのでしょうか？カットオフ周波数fc×A(指標のようなもの)='通過域のエネルギー'みたいな式があると便利なのですが…。

お礼日時：2009/09/07 00:28