線形代数 固有値に関する不等式です。

専門書に記載されている以下の問題があります。

n×nの全ての正定値行列Aに対して
log|A|≦tr(A)-n　（|A|はAの行列式です）
が成り立ち、等号成立条件はAが単位行列の時、またその時に限ることを示せ。

不等式log|A|≦tr(A)-nは示せたのですが、等号成立条件がどうして単位行列になるのかわかりません。
「等号成立⇔行列Aのn個の固有値が全て1」という結果にまでは至ったのですが、「行列Aのn個の固有値が全て1⇔Aが単位行列」となることがわかりません。
どなたか教えていただけないでしょうか？

No.3 回答者： arrysthmia 回答日時： 2009/09/24 22:00

エルミート？

n 次正定値行列 A の n 個の固有値が全て 1　⇔　A が単位行列
とは、ならない。 No.1 の反例が正しい。

No.2 回答者： reiman 回答日時： 2009/09/23 14:30

質問を水に志木だけを見ていたのでNo1は撤回。

Aは正定値得るミート行列ならば
ユニタリ行列Uによって対角化されるので
U^-1AU=E
となるから
A=E
となる。

No.1 回答者： reiman 回答日時： 2009/09/23 14:23

n=2

A=
[1 1]
[0 1]
は
log|A|=tr(A)-n