A 回答 (3件)
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No.3
- 回答日時:
その1…n=4のとき、左辺=16、右辺=6で不等号が成立。
その2…n=kのとき、この不等式が成り立つと仮定すると、
2のk乗>kの2乗-k+2
その3…(思考)そこで最終的にn=k+1のときでも成り立つように式を導けばよいので、あらかじめk+1のときの不等式を書いちゃいましょう。最初の式にn=k+1を代入して…
2の(k+1)乗>(k+1)の2乗-(k+1)+2
その4…それでは(その3式)に近付くように(その2式)を加工しましょう。(その2式)の両辺を2でかけると…
2の(k+1)乗>2×kの2乗-2k+4
その5…(その3式)と(その4式)の左辺がそろいました。これから(その4式)の右辺>(その3式)の右辺を証明できれば証明終了です。だって、(その4式)は成り立つと仮定してますから、(その3式)の右辺がさらに小さければ、やっぱり不等号が成り立ちますよね。
5>3、3>1なら5>1ですよね。
その6…(その4式)の右辺-(その3式)の右辺=kの2乗-3k+2=(k-2)(k-1)←kが4以上なら必ず>0になるので
2の(k+1)乗>(k+1)の2乗-(k+1)+2
が成り立ちます。
よって証明できました。
いかがでしょうか。テスト頑張ってください。
No.2
- 回答日時:
2^n>n^2-n+2 …(1)(n>=4)を数学的帰納法により証明する。
(I)n=4のとき
(左辺)=2^4=16
(右辺)=4^2-4+2=16-2=12
よって,(1)は成立する.
(II)n=kのとき(k>=4) (1)が成立すると仮定すると
2^k>k^2-k+2 …(2)が成立する.
ここで,n=k+1のときに成立するかどうかを調べる.
2^(k+1)=2*2^k
>2*(k^2-k+2) ((2)より)
ここで
2*(k^2-k+2)>(k+1)^2-(k+1)+2 を示す.
(左辺)-(右辺)
=k^2-3k+2
=(k-1)(k-2)
>0 (k>=4 なので)
よって
2^(k+1)=2*2^k
>2*(k^2-k+2)
>(k+1)^2-(k+1)+2
となり,n=k+1 のときも(1)が成立することが証明された.
以上(I)(II)より,
数学的帰納法によって,nが4以上のすべての自然数において
2^n>n^2-n+2
が成立することが証明された.
No.1
- 回答日時:
数学的帰納法の証明の仕方は決まっています。
まず,n=4のときに与式が成立することを言います。
2^4>4^2-4+2
次にkを4以上の整数としてn=kのときに成立すると仮定して
2^k>k^2-k+2 ...これを仮定する
n=k+1のときにも成立することを導きます。
2^(k+1)>(k+1)^2-(k+1)+2 ...これを導く。
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