壁の絵を見る問題

地面に対し垂直に立った壁の地上３ｍから６ｍの間に描かれている。
目線の高さがちょうど１ｍの子供がこの壁絵を見る場合、壁から何メートル離れた地点でこれを見るのがもっとも見やすいか。
ここで、壁紙が最も見やすいのは壁紙の上端と下端を見込む角が最も大きい場合とする。

下図の解き方で回答をお願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： info22 回答日時： 2009/10/25 14:16

tanα=2/x, tan(α+θ)=5/x

tanθ=tan(θ+α-α)
={tan(θ+α)-tan(α)}/{1+tan(θ+α)tan(α)}
={(5/x)-(2/x)}/{1+(5/x)(2/x)}
=3x/(x^2+10) (x>0)
=f(x)とおくと
f'(x)=-(3*(x^2-10))/(x^2+10)^2
f'(x)=0を満たすx(>0)は　x=√10
x=√10の前後でf'(x)は正から負に変わるので
x=√10でf(x)は最大値をとる。
f(√10)=3(√10)/20=tanθ
θ=arctan(3(√10)/20)[rad]
これを計算すればいいですね。
単位はラジアンです。
(180/π)を掛ければ度数法の単位[°]の角度になります。

No.1 回答者： rabbit_cat 回答日時： 2009/10/25 12:39

θの隣の角（底辺がx、高さが2の直角三角形の角）をαとかけば、

tanα=2/x　…　(1)
tan(θ+α)=5/x　…　(2)
ですね。で、(2)をtanの加法定理で展開して
tan(θ+α) = (tanθ+tanα)/(1-tanθtanα) = 5/x　…　(3)
(3)に(2)を代入して、
(tanθ+ 2/x)/(1-2tanθ/x) = 5/x　…　(3)
これを、tanθについて解いて、微分するなりしてtanθが最大になるxをみつければいいでしょう。