トムソンのランプ

トムソンのランプというパラドックスを目にしました。
内容は、消えたランプに電気をつけ、一秒たったら電気を消します、次は半分の0，5秒たったら電気をつけます、次は0，25秒だったらまた消します・・・を繰り返していくと最初に電気をつけて2秒後に電気はついているか？消えているか？というものなのですが。
どうやら答えは無いようです、しかし感覚的には少しづつでも時間が増えていくのだからいつか二秒に達しそうな気がするのですが、こんなバカな自分に分かりやすく理屈を教えてください

No.3 回答者： kjhkjh 回答日時： 2010/06/03 19:02

この問題は、二秒にいたるまでを細かく無限に区切って描写しているだけで二秒になった時点で、ＯＮなのかＯＦＦなのかは判りません。

ですが、

問題では「ついているか消えているか」となっているので、答えは存在します。

電気製品のスイッチの「ＯＮ　ＯＦＦ」と「ついているか消えているか」はイコールではありません。
接点（スイッチ）によって電子の流れを遮断あるいは、接続する事によってランプをつけたり消したりするわけですから、この問題のように、無限にカチカチとオンオフをす早く繰り返すと、いずれ電子の流れる間隔や、ランプが消えるのに要する時間をスイッチのオンオフの素早さが上回りランプは「つきっぱなし」の状態になります。（自宅でもカチカチ試してください）

二秒に達する瞬間までそのつきっぱなしの状態であり。二秒になった瞬間もついています。
その後ランプがonなのかoffなのかは、判りません。

No.2 回答者： Rice-Etude 回答日時： 2009/11/01 21:24

No.1です。

1で書いたことをもう少し詳しく書くと、これは無限級数の問題になります。つまり、1秒オン⇒1/2秒オフ⇒(1/2)^2秒オン⇒…の繰り返しですので、ある状態の時になった瞬間の経過時間は
1+1/2+(1/2)^2+(1/2)^4+…
の形で計算できます。

この式は初項1、公比1/2の等比数列の和となっていますが、これの無限級数すなわち項が無限に続いた時の極限値は2になります。

「極限値は2」という意味をおおざっぱにわかりやすくいうと「ずっと足していけば限りなく2に近づく」という意味で、2になるわけではありません。ですので「2秒に達するまで（未満）のルールとして規程できるものであり、2秒後についての規程をすることができていません」ということになります。

No.1 回答者： Rice-Etude 回答日時： 2009/11/01 21:09

この例題の規則の場合、2秒に達するまで（未満）のルールとして規程できるものであり、2秒後についての規程をすることができていません。

2秒後をどうするのかを決めていないのですから、答えは無いのだと思います。