小学５年の問題集にあった四角形の面積が難問すぎてわかりません。

小学５年の算数の問題が解けません。
下記の問題です。小学生にも理解できるように教えてください。
宜しくお願いします。

　１辺の長さが６ｃｍの正方形ＡＢＣＤの辺ＢＣを３等分する点を、
Ｂ側からＥ，Ｆとし、線分ＤＥ，ＤＦと対角線ＡＣとの交点をそれぞれ
Ｇ，Ｈとします。四角形ＧＥＦＨの面積を求めましょう。

No.1 回答者： FGLPQR 回答日時： 2009/11/03 18:11

△AGDと△CGEは相似なのでAG:CG=3:2

△AHDと△CHFも相似なのでAH:CH=3:1
ここで、AG=(3)、CG=(2)、AH=□3、CH=□1とする。
（□3は□の中に3を書く）
前二つよりAG=(5)、後ろ二つよりAC=□4となるので、
ACの長さを△20とする。（5と4の最小公倍数。△20は△の中に20を書く）
すると、AG=△12、CG=△8、AH=△15、CH=△5となり、GH=△3となる。
よって、AG:GH:HC=12:3:5となる。
ところで、△DGHは、△ADCと高さが同じなので、面積は底辺に比例する。
よって、△AGHの面積は6×6×(1/2)×(3/20)=(27/10)となる。
また、△DEFの面積は2×6×(1/2)=6となる。
四角形GEFHの面積は、△DEF-△AGHより、(33/10)となる。

少々見づらいと思いますが、上記の方法でいかがでしょうか。
あと計算は暗算ですので、間違っている可能性もあります（理論は正しいはずです）。

この回答へのお礼

ご回答、大変ありがとうございます。
只今、FGLPQRさんの回答の解読に苦戦しております。
1点ですが、△ＡＧＨの存在しないのですが、どの三角形の事でしょうか？　画像添付の仕方が解らず図形が解りづらく申し訳ございません。

また、回答書には下記の通りの計算式が記載してありました。
FGLPQRさんの回答と同じでした。

三角形ＧＣＥの面積は、
　(1)→　6×2÷3×6×2÷(2+3)÷2=4.8(cm2)
三角形ＧＣＥの面積は、
　(2)→　6×1÷3×6÷4÷2=1.5(cm2)
　　　　4.8-1.5=3.3(cm2)

もし、よろしければ下記の内容もご存知でしたらお教えください。

(1)→式の6×2÷3までは底辺を表し　6×2÷(2+3)は高さを表しているのでしょうか？　だとしたら6×2÷(2+3)の意味が解らないのです。
同様に、(2)→式の6÷4のところです。
是非宜しくお願いします。

お礼日時：2009/11/03 19:24

No.2 回答者： noname#99931 回答日時： 2009/11/03 18:25

このような問題は、普通の問題集では、めったに出ませんけど、中学受験の問題集でしょうか。

下のリンクのような問題でしょうか。（問題からして多分似てると思います。）

参考URL：http://diamond.jp/series/arithmetic/10010/

No.3 回答者： mizuwa 回答日時： 2009/11/03 19:50

中学受験の問題と思われますので、

普通の小学生(このような問題を解く練習をしていないという意味です)には辛いです。
●相似をつかっています。
(今の教科書では相似は中学３年生ですが、受験算数では４，５年で習います)

図を参照してみてください。

四角形ＧＥＦＨの面積を、△ＧＥＣ－△ＨＦＣとして考えてみます。
【それぞれ、△ＡＢＣ(面積18)の何分のいくつに当るかを考えます。】

(1)△ＧＥＣについて
【△ＡＧＤと△ＣＧＦが相似(3：2)】で
　△ＡＢＣと比べると、底辺･･･(2/3)、高さ･･･2/(3＋2)＝(2/5)　から、
　　　(2/3)＊(2/5)＝(4/15)
　面積は、18＊(4/15)＝24/5

(2)△ＨＦＣについて
【△ＡＨＤと△ＣＨＦが相似(3：1)】で
　△ＡＢＣと比べると、底辺･･･(1/3)、高さ･･･1/(3＋1)＝(1/4)　から
　　　(1/3)＊(1/4)＝(1/12)
　面積は、18＊(1/12)＝3/2

(3)四角形ＧＥＦＨ
＝△ＧＥＣ－△ＨＦＣ
＝(24/5)－(3/2)＝33/10

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございました。
大変参考にさせて頂いておりますが、幾つか宜しいでしょうか？

現在4年生で、確かに相似はまだ学習しておりませんが、

【△ＡＧＤと△ＣＧＦが相似(3：2)】で
(1)△ＣＧＥ(Ｅは辺ＢＦの中心です)でないでしょうか？
(2)また、「高さ・・・2/(3＋2)」を相似を説明する上で、どのように説明・解説したらよろしいでしょうか？

お礼日時：2009/11/03 20:57

No.4 回答者： mizuwa 回答日時： 2009/11/04 01:45

No.3、No.4　です

【△ＡＧＤと△ＣＧＦが相似(3：2)】で
△ＣＧＥ(Ｅは辺ＢＦの中心です)でないでしょうか？
●はい。おっしゃるとおり、△ＣＧＦでなく△ＣＧＥです。すみません。

「高さ・・・2/(3＋2)」を相似から説明する上で、
●相似なので、高さも(3：2)になり、
【全体から考えると3/5と2/5】ということで説明可能ではないでしょうか


★4年生ですか、＾＾とすると、
実際の長さにしたほうが良いかもしれません。
以下のような「実際の長さ出す」方法で考えてみました。

(1)△ＧＥＣについて【△ＡＧＤと△ＣＧＥが相似(3：2)】
　底辺・・・6÷3×2＝4、
　高さ・・・比が(3：2)から、全体(6cm)が(5)なので、6÷5×2＝2.4
　面積・・・4×2.4÷2＝4.8

(2)△ＨＦＣについて【△ＡＨＤと△ＣＨＦが相似(3：1)】で
　底辺・・・6÷3×1＝2
　高さ・・・比が(3：1)から、全体(6cm)が(4)なので、6÷4×1＝1.5
　面積・・・2×1.5÷2＝1.5

(3)四角形ＧＥＦＨ
　＝△ＧＥＣ−△ＨＦＣ
　＝4.8−1.5
　＝3.3

図は(1)の場合の高さを表すときの参考です。
★旧で投稿すると添付できそうです。

この回答へのお礼

大変分かり易く、学習することが出来ました。
どうもありがとうございます。

お礼日時：2009/11/04 13:14

No.5 回答者： FGLPQR 回答日時： 2009/11/04 02:38

No.1です。

すみません、△AGHは、△DGHの間違いです。申し訳ないです。

(1)
補足にご記入いただいた内容ですが、6×2÷(2+3)は、ご察しの通り高さです。
△AGDと△CGDは、辺の比が3:2の相似ですので、高さの比も3:2になります。
ところで、△AGDと△CGDの高さの和は6cmですので、これを5つに分けたうちの2つ分、つまり6×(2/5)cmが△CGEの高さを表しております。
（点GからADおよびBCに垂線を引いてみてください）

(2)
>三角形ＧＣＥの面積は、
△CHFのことでしょうか？
△AHDと△CHFは、辺の比が3:1の相似です。そのため、やはり高さの比も3:1となります。上に記した内容と同様で、△AHDと△CHFの高さの和は6ですので、△CHFの高さは6×(1/4)と表すことができます。