ナビエストークスの方程式のせんだん応力について

http://www.bio.mie-u.ac.jp/~kuzuha/open/NS.doc
を参考にNS方程式の導出を学んでいます。
２P目の（２）式となる過程が分りません。

微小体積におけるせんだん応力は実験式により、

τyx=μ(du/dy) :x軸に垂直な面のy方向のせんだん応力
τxy=μ(dv/dx)：y軸に垂直な面のx方向のせんだん応力

と示される。平衡条件より、

τyx=τxyとなる事を加味すると、結局

★　τyx=τxy=μ(du/dy＋dv/dx)

となる。．．．．ここが分りません。何故この様な式が出てくるのでしょうか？他でも調べてみたのですが、よく分かりませんでした。

この辺りの説明をしているURL等ご存知でしたらお教え頂けませんでしょうか。

私は30代のコーティング関係の技術者です。学問を仕事としている訳ではありませんので、技術者レベルに対する説明で結構です。

よろしくお願いします。

No.1 回答者： my3027 回答日時： 2009/12/06 18:54

いちばん簡単な説明としては、それが定義だという考え方です。

実験とは関係ありません。

１Pの下の図の角度(α＋β)の総和が、x-y平面での歪(τxy)という「定義」です(せん断歪は角度なので単位がない)。2Pの図ではαとβがdv/dxとdu/dyに置き換わっています。これは「工学ひずみ」と呼ばれる定義です。従って、その歪に弾性率μをかければ応力になります。

ちなみに弾性力学、連続体力学等で使われるせん断歪は「テンソル歪」では、工学ひずみの半分と定義されています。式ではε12=(dv/dx+du/dy)/2=となります。



ちなみに

この回答への補足

ありがとうございます。
歪が　du/dy＋dv/dx　となるのは分ります。それにμを掛けたら何故τyxとτxyになるのでしょうか。
ニュートンの式より、

τyx=μ(du/dy)　★　
τxy=μ(dv/dx)　★

なのだから、そのルールに従うと、

　τyx＋τxy=μ(du/dy＋dv/dx)　

となると思うのですが。２Pの上の方で★の様に書いていて、何故その下の（２）式では　τyx=τxy=μ(du/dy＋dv/dx)　
となるのでしょうか？？

>>その歪に弾性率μをかければ応力になります。

ここで言う応力とはτyx,τxyの事ですよね？

補足日時：2009/12/07 18:57

No.2 ベストアンサー 回答者： my3027 回答日時： 2009/12/08 16:24

>ニュートンの式より、

τyx=μ(du/dy)　★　
τxy=μ(dv/dx)　★
なのだから、そのルールに従うと、
τyx＋τxy=μ(du/dy＋dv/dx)　
となると思うのですが。２Pの上の方で★の様に書いていて、何故その下の（２）式では　τyx=τxy=μ(du/dy＋dv/dx)　
となるのでしょうか？？

まず資料中の★τ=μ(du/dy)の流体の例が困惑させていると思います。この式はdu方向の変形しか考慮していません。従ってdv/dx1=0が省略されています。逆に考えると、du方向だけであればその式なので、dy方向はτ=μ(du/dy)となります。お互いに独立なので、重ね合わせの原理を使えるので、それを足し合わせた解が2次元の歪になるとも解釈できます。

ちなみにτ=μγはフックの法則でニュートンの法則ではありません。ニュートン流体という流体の種類の名前です。
はx、y方向の歪や応力はσxx=Eεxxと

この回答へのお礼

どうもありがとうございました。

だいぶ分ってきたので、さらに詳しく勉強しようと思います。

丁寧な説明感謝します。

お礼日時：2009/12/12 15:24

No.3 回答者： my3027 回答日時： 2009/12/08 16:34

>ここで言う応力とはτyx,τxyの事ですよね？

そうです。