線形代数

Vを3次以下の実係数多項式全体のなすベクトル空間とする：
V={a0+a1x+a2x^2+a3x^3｜a0,a1,a2,a3∈R}
Ｖ上の線形変換Ｔ：Ｖ→Ｖを
T(f(x))=f(x+1)-xf'(x) (f(x)∈V)
によって定義する。但し、f'(x)はf(x)の微分を表わす。
(1)Ｖの基底x^3,x^2,x,1に関するＴの行列表示を求めよ。
(2)ImTとKerTの基底を一組づつ求めよ。

という問題なのですがどなたかわかる方がいらっしゃれば解答よろしくお願いいたします。

No.3 回答者： ddtddtddt 回答日時： 2009/12/11 12:54

　言う事は、#2さんと同じですが、「3次以下の実係数多項式全体のなすベクトル空間」という予想外の言葉にノックアウトされたのかな？、と想像し、かなり乱暴ですが、関数空間の話をします（知ってたら、御免なさい）。

自分も最初は、多項式全体のベクトル空間とか、関数空間などの難しそうな言葉にＫＯされた口です。

　関数y＝x^2を考えます。「式」であるy＝x^2が関数だと思いがちですが、違います。式：y＝x^2は、とあるxでの関数値yを表しているに過ぎません。それでもy＝x^2が関数に見えるのは、「x全体の見渡し」を無意識にやっているからです。例えば区間を、Ｉ＝[a，b]として、

　　x1，x2，・・・∈Ｉ

における、y1，y2，・・・（yi＝xi^2）を想像して、放物線を思い浮かべています。現在の数学はとても即物的です。要は「xiとyiの表」があれば良いだろう、という事になります。だってグラフを書けるじゃないですか！。
　ところで関数を定義する場合、厳密には定義域と値域を先に定めて、それから関数値を考えなければなりません。そこで、先に定義域Ｉを定めておくと決めておけば、x1，x2，・・・は、その番号付けで区別できます。そうすると「表」すらも不要で、関数は関数値の組、

　　(y1，y2，・・・)

で定義できる事になります。これってベクトルだよね？、というわけで、定義域を先に決める事を前提として、それ上での関数値を集めたものを、関数空間と呼びます（ベクトル空間になります）。ただし無限次元です。

　　(y1，y2，・・・どこまでも～～)

だからです。ところが無限次元を、有限次元に落とし込める場合があります。
　例えば、3点しか折れ点を持たない折れ線関数は、3つの折れ点の関数値だけで、関数が全部決まります。(y1，y2，y3)です。という訳で、3点の折れ点を持つ折れ線関数の関数空間は、3次元です。

　ここで#2さんの真似をすると、

　　・3次以下の実係数多項式関数を定めるには、いくつのx^nが必要ですか？。（#2さんの成分表示の部分を、もう一度）
　　・計算に着手できますか？

となります。

No.2 回答者： alice_38 回答日時： 2009/12/10 14:11

丸投げ→丸教え は勘弁ということで。

「Ｔの行列表示」「ImT」「KerT」などの用語の
意味が分からないなら、教科書へ Go! です。
この問題は、極基本的な計算練習ですから、
それらの用語が分かっていれば、普通できるハズ
なんですが…。

あるいは、ベクトルってものがどんなものかが
サッパリ掴めていないのかもしれませんね。
V の元 a0 + a1 x + a2 x^2 + a3 x^3 の
基底 { x^3, x^2, x, 1 } に関する成分表示は
(a3, a2, a1, a0) だ… と言ったら、
計算に着手できますか？

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2009/12/09 17:59

そもそもあなたは何が分からないのですか?

この回答への補足

何がというかこの問題がわからないです。
解答例を載せていただけるとありがたいです。

補足日時：2009/12/10 13:54