「面積一定で周囲の長さが最大な図形は？」が数学の問題になる理由

なぜこれが問題になるのでしょう？面積一定でもいくらでも周囲の長さは大きく出来ると思うのですが。

正方形の高さを半分にし、幅を2倍にします。
出来上がった長方形の高さを半分にし、幅を2倍にします。
面積は変わりません。
が、周囲の長さは大きくなります。

長方形の幅と高さをw,2hとし、w>=2h>0とする。
操作前、周囲の長さが2w+4h
操作後、長方形の幅と高さが2w,hとなる。周囲の長さが4w+2hであるので、
操作前後の周囲の長さの差は、4w+2h-(2w-4h)=2w-2h>w>0であるので確実に増えている。

No.2 ベストアンサー 回答者： kabaokaba 回答日時： 2009/12/13 11:18

＞面積一定でもいくらでも周囲の長さは大きく出来ると思うのですが。

その通りですよ．その「大きくなり方」が問題なんです．
そこに制限をつけるのです．
どのような制限をつけるとどのような結果となるかが重要．
それが明確になれば「結果」のための本質的な条件が明確になる
ことが期待されます．

今回のあなたの例では，対象の図形は
極限的には面積が消えてしまいますね．
＃有限の状態では面積があるのに，極限では消えてしまう
＃という意味でこれはこれで面白いのですが
そのかわり，図形の境界はシンプルです．

では，「極限でも面積が同じ」とか
「極限でも面積は0にならない」とか
いう条件をつければどうなりますか？

最初は「正方形」にしましょう
つぎに一辺の一箇所をちょびっと尖がらせて
逆に同じ分だけ引っ込ませる．
こうして凸凹を一個作ります．
この凸凹の各辺にも同じように凸凹を作っていくと・・・
このとき，この凸凹の状態はどんどん細かくなっていく．
こうしたときに極限の状態はどうなるのか？

ここから先は
「フラクタルの世界へようこそ」となります．
工学的応用（フォトニッククリスタルというのが有名）も
期待されている世界です．

この回答へのお礼

なるほど、これなら面積は目で見ても０ではないし、周囲の長さも無限になりますね。参考になりました。
＃コッホ雪片というのがWebサイトに載っていました。


＞対象の図形は
＞極限的には面積が消えてしまいますね．
＞＃有限の状態では面積があるのに，極限では消えてしまう
＞＃という意味でこれはこれで面白いのですが
これも、1=0.999999....と同様、私には直感的に理解できない、極限というか無限の性質です。０*∞が０になったり∞になったり一定値になったり、そもそも解がなかったりするのですから。

お礼日時：2009/12/14 09:18

No.5 回答者： SortaNerd 回答日時： 2009/12/15 02:44

No4です。

>いえいえ、… 知っていますから。
これは失礼しました。
>多項式の手間で最適解が解けない
ちょっと意味が分かりません。
フラクタル図形も無限回の操作が必要ですがこちらは良いのですか?

No.4 回答者： SortaNerd 回答日時： 2009/12/13 22:12

あなたの「問題」に対する認識が間違っているのでしょう。

「問題」とは解がただ一つに決まるものと考えていませんか?

この問題には、唯一の解は存在しません。解は無限個あります。
その上、全ての解を簡単な形でまとめて書くこともできません。
しかしながら、それでもなお、これは問題です。
解が無いことや無数にあること、解が叙述不可能なことと、問題が成立していないことは全く別のことです。

この回答への補足

いえいえ、解が存在しても数学的な問題であるという、巡回セールスマン問題というのがありますのは知っていますから。多項式の手間で最適解が解けないから問題になっているわけで。

＃２さんのおっしゃる「制限」が知りたかったのです。

補足日時：2009/12/14 09:55

No.3 回答者： debukuro 回答日時： 2009/12/13 11:27

フラクタル図形だなこれは、と書こうと思ったらすでに回答が出ていたな

有限の中に無限を封じ込める
カオスという真面目な数学の本があります
ご参考に
２番の方の方法のほかにもいろいろあります

No.1 回答者： Ginzang 回答日時： 2009/12/13 11:03

ひょっとして、問題を勘違いしてはいないだろうか？

その問題をどこで聞いたのかは知らないが、多分
「周囲の長さ一定で面積が最大な図形は？」
と聞き間違えたのではないかと思う。これならよく知られた、数学的検討に値する問題である（なおこの答えは、私からは敢えて言わない)。

この回答への補足

いえ、「周囲の長さ一定で面積が最大な図形は？」なら答が円だというのは有名です。
「その逆に、面積一定で周囲の長さが最大な図形は？も、数学的検討に値する問題である」という記述を読んだものですから。

補足日時：2009/12/14 09:26