こんにちわ。自分あ物理系のB2の学生です。
不連続関数をフーリエ級数展開した場合、フーリエ級数ては不連続点に対して,不連続点の右極限と左極限の相加平均に収束するのでしょうか。ギブス現象は聞いたことがあるのですが、収束性は保障されるのですか。
このような質問をいたしましたのはジョルダン・ルベーグの定理で、フーリエ級数の各点収束を示そうとしたのですが、不連続点での扱いが自分は説明できなかったからです。講義で扱ったジョルダン・ルベーグの定理は
fが有界変動であり,|f|が1周期上積分可能で積分値が有限であるとする。このときfのxにおけるフーリエ級数Snが
Sn→1/2 {f(x+0) + f(x-0)} as n→∞
というもので、連続性の条件はありません。証明上の問題点は、fが有界変動であるので
φ(t) = f(x+t)+f(x-t)-f(x+0)-f(x-0) → 0 as t→0
なるφは有界変動であるから、単調増加する正値関数P,Nをもちいて
φ(t) = P(t) - N(t) + φ(0)
で表現される。このとき
P(t) + N(t)→0 as t →0 (1)
とあるのですが、xにおいてfが不連続の場合,(1)は成立しないと思う点です。
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