代数学の問題を考えているのですが、わからないので質問させていただきます。考えているのは以下の問題です。
[問]
Snをn次対称群とする。Snの元rをr=(1 2 3 ... n)と定義し、Snの部分集合Hを、H={e,r,r^2,...,r^(n-1)}とおく。但し、eはSnの単位元である。
(1) HがSnの部分群であることを示せ。
(2) n=4のとき、SnのHによる左剰余類分解を求めよ。
(1)は、Hの2つの元をかけたもの及びHの逆元がHになればいいという定義を利用すればいいと思い、まずはr^n=eを示せばいいと考えているのですが、その方法がわかりません。また、この方針は正しいのでしょうか?
(2)は、Hがeを含むことから、Sn自体であり4!個の元(置換の上が(1,2,3,4)で固定、下が(1,2,3,4)の順列)の集合だと考えましたこれで正しいでしょうか?
代数学について詳しくないため、説明がおかしいところがあるとは思いますが、わかる人がいれば回答よろしくお願いします。
No.1
- 回答日時:
>まずはr^n=eを示せばいいと考えているのですが
あなたの思考的飛躍がまったくわかりません。
自分の文章をもう一度よんで、論旨がつながっていないな、と思いません?
(2)についてもまったく正しくないと思われますが、こちらも何を言わんとしているのか理解不能です。
この回答への補足
申し訳ありません。質問が不十分でした。
(1)については、r^n=eを示すことでHがrの生成する巡回部分群であることが言え、rがSnの元であることからHがSnの部分群であることが言えると考えました。
(2)はまず置換
[1 2 3 4 ]
[i1 i2 i3 i4]
(2つの'['と']'を1つとして見てください)について、n次対称群とはi1,i2,i3,i4に1,2,3,4をかぶらないように振り分けた置換の集合であり、n=4のn次対称群は1,2,3,4の順列通り、すなわち4!通りあると解釈しています。
そして、「群Gの部分群Hに単位元eが含まれている場合、GのHによる左剰余類分解はGそのものとなる」ため、SnのHによる左剰余類分解はSnそのものであると考えました。
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
(1)
その方針でよいようです。
群の部分集合で、群演算と逆元について閉じているものは、
部分群になります。(定義ではなく、定理だと思いますが。)
r^n = e から、r^k の逆元を直接書き出してしまったほうが
簡明でしょう。
(2)
「群Gの部分群Hに単位元eが含まれている場合、
GのHによる左剰余類分解はGそのものとなる」…
何でしょう?、それは。
H が部分群なら e を含むのは当然ですが、
G/H が G と同型になるとは限りません。
「群Gの部分群Hが単位元eのみからなる場合、
GのHによる左剰余類分解はGそのものとなる」…
とかの間違いかな?
巡回置換で同値類別するのだから、
下の行を先頭が 1 になるように巡回したもの
でも代表系に採ればよいのでは。
この回答への補足
(2)に関しては勘違いでした。
(1)なのですが、
>r^n = e から、r^k の逆元を直接書き出してしまったほうが簡明でしょう。
とありますが、r^n = e を示せば H は Sn の元 r が生成する巡回部分群であるため、H は Sn の部分群であると言うことはできないのでしょうか?
あと、r^n = e は
r^n =
[1 2 ... n]
[1 2 ... n]
= e
('['二つで一つの括弧)と言ってしまってもいいものでしょうか?
No.3
- 回答日時:
>(1)については、r^n=eを示すことで(略)HがSnの部分群であることが言えると考えました。
考えすぎです。
自分で「Hの2つの元をかけたもの及びHの逆元がHになればいい」と述べているのですから
その通りすればよいだけです。
>SnのHによる左剰余類分解はSnそのものであると考えました。
まったく違います。
左剰余類の各集合をすべて挙げることから始めて下さい。
n=4なんだからすべてを列挙することができるはずです。
この回答への補足
(2)については勘違いしていたようです。考え直します。
(1)についてですが、
>自分で「Hの2つの元をかけたもの及びHの逆元がHになればいい」と述べているのですから
その通りすればよいだけです。
とありますが、Hの2つの元をかけたとき、r^n=eが示されていないと、例えば
r×r^(n-1)=r^n
r^2×r^(n-1)=r^(n+1)
などがHの元(r^n=e∈H、r^(n+1)=r∈H)であると示すことができないのではないのでしょうか?それとも、置換の計算の常識や置換に関連する定理などに「Hの二つの元をかけたもの及びHの元はHである」ということが言えるものがあるのでしょうか?
No.4
- 回答日時:
>Hの2つの元をかけたとき、r^n=eが示されていないと、例えば
>r×r^(n-1)=r^n
>r^2×r^(n-1)=r^(n+1)
>などがHの元(r^n=e∈H、r^(n+1)=r∈H)であると示すことができないのではないのでしょうか?
そだね。ボケてたみたい。
定義に従えば容易に証明できます。
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