No.6ベストアンサー
- 回答日時:
三次曲線:y=x^3+ax^2+1・・・・・(1)
上の接点をP(t、(t^3+at^2+1))とします。
そうすると、点Pを通る接線の方程式は
Y-(t^3+at^2+1)=(3t^2+2at)(X-t)・・・(2)
となる。
(2)式が原点を通るためには、
0-(t^3+at^2+1)=(3t^2+2at)(0-t)・・・(3)が成り立ちます。
つまり
g(t)=2t^3+at^2-1=0・・・・(4)が成り立ちます。
(4)式が3実根を持てば(1)式が原点を通る3本の接線を
持つことがわかります。
そのためには
g’(t)=6t^2+2at=0・・・・・(5)
=2t(3t+a)=0
a>0のとき
g’(t) 0 0
-------------------------------------------------
t / -(a/3) \ 0 /
-------------------------------------------------
g(-a/3)=2(-a/3)^3+a(-a/3)^2-1>0・・・(6)
ー2a^3/27+a^3/9-1>0・・・・(7)
a^3>27
ゆえに
a>3
No.5
- 回答日時:
曲線y=x^3+ax^2+1・・・・・(1)
上の接点をP(t、(t^3+at^2+1))とします。
そうすると、接線の方程式は
Y-(t^3+at^2+1)=(3t^2+2at)(X-t)・・・(2)
となります。
(2)式が原点を通るためには、
0-(t^3+at^2+1)=(3t^2+2at)(0-t)・・・(3)が成り立ちます。
つまり
2t^3+at^2-1=0・・・・(4)が成り立ちます。
No.4
- 回答日時:
曲線y=x^3+ax^2+1・・・・・(1)
上の接点をP(t、(t^3+at^2+1))とします。
この回答へのお礼
お礼日時:2010/01/25 13:07
#4さんに失礼してここで皆さんにお礼を言いたいと思います。
2t^3+at^2-1=0…(1)自体が接線でtの値が3つあれば
3本の原点を通る直線がある。
という解釈で間違いないでしょか??
No.3
- 回答日時:
普通に接線を求める方法というのは、接点のx座標をtとしたんでしょ。
それで2t^3+at^2-1=0が出てきた。この方程式が異なる三つの実数解を持つということは、tが3通り考えられるということで、それは接点が3通り考えられると言うことなんじゃなかろうか?これは3本接線が引けるということですね。
No.2
- 回答日時:
(1) は「点 (t, t^3+at^2+1) を通る接線が原点を通る」条件ですよね. だとしたら, 方程式 (1) が 3個の異
なる実数解を持つときは「3個の異なる点を通る接線が原点を通る」ということだから, 逆に見れば「原点を通る接線が 3本存在する」ということになります.No.1
- 回答日時:
こんばんわ。
>2t^3+at^2-1=0…(1)が出てきます。
このときの「t」は、どのように置かれた変数ですか?
何かの x座標になっているはずです。
「原点を通る」条件もふまえた式なので、「そのような点」が 3つあることを示せばよいわけです。
「t」が何か?ということに注目すれば、わかると思いますよ。^^
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